[行列解析5.1.P4]

5.1.問題4

\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムであるとする。 (a) すべての \(x, y \in V\) に対して次の平行四辺形恒等式が成立することを示せ：

\frac{1}{2} \left( \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \right) = \|x\|^2 + \|y\|^2 \quad (5.1.9)

この恒等式の名前の由来を説明せよ。また、この恒等式が成立することが、与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件であることを示せ（5.1.P12 参照）。(b) \(m \in \{2,3,\dots\}\) とし、\(x_1,\dots,x_m \in V\) を与える。このとき

\sum_{1 \leq i \lt j \leq m} \|x_i - x_j\|^2 + \left\|\sum_{i=1}^m x_i \right\|^2 = m \sum_{i=1}^m \|x_i\|^2

を示し、この恒等式が \(m=2\) の場合に (5.1.9) に帰着することを説明せよ。