[行列解析4.6.P27]

4.6.問題27

(4.6.9) のユニタリ共役相似の類似版がある：\(B \in M_m\) で \(B \bar{B} = I\) のとき、ユニタリ行列 \(U \in M_m\) が存在して次を満たす：

B = U \Big( I_{n-2q} \oplus \begin{pmatrix} 0 & \sigma_1 \\ \sigma_1^{-1} & 0 \end{pmatrix} \oplus \dots \oplus \begin{pmatrix} 0 & \sigma_q \\ \sigma_q^{-1} & 0 \end{pmatrix} \Big) U^T

ここで \(\sigma_1, \sigma_1^{-1}, \dots, \sigma_q, \sigma_q^{-1}\) は 1 以外の \(B\) の特異値である。

(a) この事実と (3.4.P5) を使って、与えられた \(A \in M_n\) がユニタリ合同で次のブロックの直和に変形できることを証明せよ：

[\sigma], \quad \begin{pmatrix} 0 & s \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ t^{-2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \\ \sigma, \tau, s, t \in \mathbb{R}, \\ \ \sigma \ge 0, \tau \gt 0, s \gt 0, 0 \lt t \lt 1

これは \(A \bar{A}\) が半正定値（すなわち、ユニタリ対角化可能で非負の実固有値を持つ）である場合に限る。

(b) 2つの共逆行列がユニタリ合同であるのは、特異値が同じ場合に限る理由を説明せよ。(4.6.19) の因数分解は、共逆行列に対する特別な特異値分解であり、歪対称行列の特別な特異値分解 (2.6.6.1) に類似していると考えられる。

(d) (a) の標準形を (4.4.P43) のものと比較せよ。