[行列解析4.6.14]系

4.6.14系

系 4.6.14. 任意の行列 \(A, B \in M_{n}\) に対して、\(A\) が \(B\) と共役相似であるのは、\(A \overline{A}\) が \(B \overline{B}\) と相似であり、\(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,B\) かつ \(\mathrm{rank}((A \overline{A})^{k} A) = \mathrm{rank}((B \overline{B})^{k} B)\) （\(k = 1, \ldots, [n/2]\)）である場合に限る。\(A\) および \(B\) が非特異の場合は、\(A\) が \(B\) と共役相似であるのは \(A \overline{A}\) が \(B \overline{B}\) と相似である場合に限る。

証明：

述べられた条件の必要性は明らかであるので、ここでは十分性のみを考える。\(A\) および \(B\) の共役-標準形における Type I および Type II ブロックは、\(A \overline{A}\) のジョルダン標準形によって決定される。なぜなら、これは \(B \overline{B}\) のジョルダン標準形と同じだからである。述べられたランク条件（加えて \(\mathrm{rank}((A \overline{A})^{k}) = \mathrm{rank}((B \overline{B})^{k}),\; k = 1,2,\ldots,[n/2]\) という \(A \overline{A}\) と \(B \overline{B}\) の相似性の結果）は、\(A\) および \(B\) の共役-標準形における Type 0 ブロックが同一であることを保証する。

演習：前述の系を用いて、任意の正方複素行列が自分自身の負、共役、転置、共役転置と共役相似であることを示せ。また、共役-標準形の三種類のブロックのそれぞれがエルミート行列および実行列と共役相似であることを示すことができる。したがって、(4.6.12) から、任意の正方複素行列はエルミート行列および実行列と共役相似であることが従う。