[行列解析4.6.1]定義（相似共役）

4.6.1

定義 4.6.1　

行列 \(A, B \in M_{n}\) が相似共役（consimilar）であるとは、正則な \(S \in M_{n}\) が存在して

A = S B\overline{S}^{-1}

が成り立つことをいいます。

もし \(U\) がユニタリ行列なら、\(\overline{U}^{-1} = \overline{U}^{*} = U^{T}\) です。したがって、ユニタリ合同（\(A = U B U^{T}\)）とユニタリ相似共役（\(A = U B \overline{U}^{-1}\)）は同じです。

もし \(Q\) が複素直交行列なら、\(\overline{Q}^{-1} = \overline{Q}^{T} = Q^{*}\) です。したがって、複素直交合同（\(A = Q B Q^{*}\)）と複素直交相似共役（\(A = Q B \overline{Q}^{-1}\)）は同じです。

もし \(R\) が実数で正則なら、\(\overline{R}^{-1} = R^{-1}\) です。したがって、実数相似（\(A = R B R^{-1}\)）と実数相似共役（\(A = R B \overline{R}^{-1}\)）は同じです。

サイズ 1 の行列については、通常の相似は自明です（\(s a s^{-1} = a\)）。しかし、相似共役の場合は回転になります：

s a \overline{s}^{-1} = |s| e^{i\theta} \, a \, |s|^{-1} e^{i\theta} = e^{2i\theta} a \quad (s = |s| e^{i\theta})

演習：なぜ任意の \(1 \times 1\) 複素行列 \([a]\) は \([\overline{a}]\) に相似共役であるのかを説明せよ。

演習：もし \(A, B \in M_{n}\) が「coninvolutory」行列を介して相似共役であるとき、\(A, B\) の間にはどのような関係があるかを述べよ。

相似共役は \(M_{n}\) 上の同値関係 (0.11) です。そして、どの同値類がブロック三角、三角、あるいは対角形の代表を含むかを問うことができます。