[行列解析4.6]問題集

4.6.問題集

4.6.P1

なぜ共役相似（consimilarity）が M_n 上で同値関係となるのかを説明せよ。

4.6.P2

(a)

\begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{pmatrix}

は相似による対角化はできないが、共対角化（condiagonalizable）可能であることを示せ。

(b)

\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

は対角化可能だが、共対角化はできないことを示せ。

(c)

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

は対角化も共対角化もできないことを示せ。

4.6.P3

任意の行列 A ∈ M_n が与えられ、λ が A の正の共役-固有値（positive coneigenvalue）であり、x_1, ..., x_k が λ に対応する共役-固有ベクトル（coneigenvectors）であるとする。ベクトル x_1, ..., x_k が C 上で一次独立であることと R 上で一次独立であることが同値であることを示せ。

4.6.P4

定理 4.6.11 は単一行列が共対角化可能であるための必要十分条件を与えるが、複数の行列を同時に共対角化する場合はどうなるか？{A_1, A_2, ..., A_k} ⊂ M_n が与えられ、非特異行列 S ∈ M_n が存在して A_i = S \Lambda_i ¯S^{-1} かつ各 \Lambda_i が対角行列であるとする。次を示せ：

(a) 各 A_i は共対角化可能である。

(b) 各 A_i ¯A_j は対角化可能である。

(d) 各 i, j = 1, ..., k に対して、A_i ¯A_j + A_j ¯A_i の固有値はすべて実数であり、A_i ¯A_j − A_j ¯A_i の固有値はすべて虚数である。k = 1 の場合、このことは何を意味するか？

4.6.P5

A ∈ M_n が A ¯A = \Lambda = λ_1 I_{n_1} ⊕ ... ⊕ λ_k I_{n_k} を満たし、i ≠ j の場合 λ_i ≠ λ_j、かつ全ての λ_i ≥ 0 とする。このとき、A = U \Lambda_U U^T となるユニタリ行列 U ∈ M_n が存在し、各 \Lambda_i ∈ M_{n_i} は上三角行列であることを示せ。

4.6.P6

補題 4.6.9 によれば、A ∈ M_n は非特異 S ∈ M_n に対して A = S ¯S^{-1} と分解できるのは、A ¯A = I の場合である。A がユニタリ U ∈ M_n を用いて A = U ¯U^{-1} = U U^T と表せることと、A^{-1} = ¯A かつ A が対称であることが同値であることを示せ。

4.6.P7

\(A \in M_n\) が共反転行列（coninvolutory）であるとする。任意の \(X \in M_n\) に対して \(A \bar{X} = X A\) を満たす場合、\(S X S^{-1}\) が実行列となるような単一の非特異行列 \(S \in M_n\) が存在することを示せ。

4.6.P8

\(A \in M_n\) が対角行列または上三角行列である場合、\(A\) の固有値と共役-固有値の関係を示せ：もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値であれば、任意の \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(e^{i\theta} \lambda\) が \(A\) の共役-固有値となる。また \(\mu\) が \(A\) の共役-固有値であれば、ある \(\theta \in \mathbb{R}\) が存在して \(e^{i\theta} \mu\) が \(A\) の固有値となる。

4.6.P9

\(A \in M_n\) が与えられ、\(n\) が奇数であるとする。このとき \(A\) が共役-固有対（coneigenpair）を持つ理由を説明せよ。

4.6.P10

\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。(4.6.11) の主張から、\(A\) が共対角化可能（必ずしもユニタリでない）であることを導け。さらに次の3ステップで (4.6.11) の証明を修正し、共対角化がユニタリ行列を用いて達成できることを示せ：

(a) なぜ \(S\) をユニタリとできるのかを説明せよ。

(b) なぜ各ブロック \(B_{ii}\) が対称であるのか？(2.5.18) を用いて \(\sigma_j^{-1} B_{jj} = R_j^2 = R_j \bar{R}_j^{-1}\) を示せ。ただし \(R_j = Q_j D_j Q_j^T\) で、\(Q_j\) は実直交行列、\(D_j\) は対角かつユニタリである。

4.6.P11

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) の場合、その共役-標準形（concanonical form）の特異部分が Jordan 標準形の特異部分と同じ理由を説明せよ。

4.6.P12

A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}

とする。\(A\) の Jordan 標準形が \(J_2(0)\) である理由を説明せよ。

(a) (4.6.13) 後のアルゴリズムを用いて、\(A\) の共役-標準形が \(J_1(2) \oplus J_1(0)\) であることを確認せよ。

(b) (4.4.4c) を用いて同じ結論に到達せよ。

4.6.P13

(4.6.17b) の因数分解は、任意の複素数 \(z\) を \(z = r e^{i\theta}\) （\(r\) と \(\theta\) は実数）と書けることをどのように一般化するか？\(A \in M_{m,n}\) が \(A = R E\) と分解でき、\(R \in M_{m,n}(\mathbb{R})\) が実行列、\(E \in M_n\) が共反転行列である場合、なぜ \(\mathrm{range}\,A = \mathrm{range}\,\bar{A}\) が成立するか説明せよ。この \(A = R E\) の分解の必要条件は十分条件でもある。Horn and Johnson (1991) の定理 6.4.23 を参照。

4.6.P14

\(\mu \in \mathbb{C}\) とする。\(H_{2k}(\mu)\) が \(H_{2k}(\bar{\mu})\) と共役相似であることを示せ。次に (4.6.12) を用いて、任意の \(A \in M_n\) が \(\bar{A}\) と共役相似であることを示せ。

4.6.P15

(4.6.14) を用いて、任意の \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A \in M_n\) が \(e^{i\theta} A\) と共役相似であることを示せ。

4.6.P16

\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値であり幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambda} > 0\) とする。

(a) \(z_1, ..., z_k\) が一次独立（\(\mathbb{C}\) 上）で \(A z_j = \sigma z_j\) を満たす場合、なぜ \(k \le g\) かを説明せよ。

(b) (4.6.12) を用いて、\(g\) 個の一次独立（\(\mathbb{C}\) 上）ベクトル \(z_1, ..., z_g\) が存在し、\(A z_j = \sigma z_j\) を満たすことを示せ。

(d) (a) および 4.6.P3 により、共役-固有空間の次元が \(g\) 以下である理由を説明せよ。

(e) 結論として、共役-固有空間は \(g\) 次元の実ベクトル空間である。

次の 2 問では、与えられた正の共役-固有値 \(\sigma\) に対応する共役-固有空間の基底を求めるための 4 つのアルゴリズムを示す。ここでは、\(A \bar{A}\) の固有値 \(\sigma^2\) に対応する固有空間の基底が与えられている。

4.6.P17

\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値で幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambda} > 0\) とする。\(x_1, ..., x_g\) を \(\lambda\) に対応する \(A \bar{A}\) の一次独立な固有ベクトルとし、\(X = [x_1 ... x_g] \in M_{n,g}\) とすると、\(\mathrm{rank}\,X = g\) かつ \(A \bar{A} X = \lambda X\) となる。このとき、\(Y = [y_1 ... y_g] \in M_{n,g}\) を構成し、\(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) となるようにすることで、\(Y\) の列が共役-固有空間（coneigenspace、g 次元の実ベクトル空間）の基底となることを示せ。

恒等式 \(A \bar{A} X = \lambda X\) が \(\mathrm{rank}\,A \bar{X} = g\) を意味する理由を説明せよ。また、\(X\) の列空間が \(A \bar{A}\) の \(\lambda\) に対応する固有空間に等しい理由を示せ。この恒等式により、ある \(B \in M_g\) が存在して \(A \bar{X} = X B\) となる理由を説明せよ。なぜ \(B\) は一意であり、非特異であるかを示せ。

アルゴリズム I 線形系 \(A \bar{X} = X B\) を解くことで行列 \(B\) を求める。なぜこれが可能か？\(\mathrm{rank}(B + e^{2i\theta} \sigma I) ^lt g\) であるのは、\(-e^{2i\theta} \sigma\) が \(B\) の固有値である場合に限る。このため、\(B + e^{2i\theta} \sigma I\) がフルカラムランクを持たない \(\theta \in [0, \pi)\) は最大で g 個である。任意の \(\theta \in [0, \pi)\) を選び、\(\mathrm{rank}(B + e^{2i\theta} \sigma I) = g\) として、\(Y = e^{-i\theta} X (B + e^{2i\theta} \sigma I)\) とする。これにより \(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。各列（すなわち生成される共役-固有ベクトル）は、すべての固有ベクトル \(x_1, ..., x_g\) の線形結合を回転させたものであることに注意せよ。

アルゴリズム II 恒等式 \(X B = A \bar{X}\) を用いて、\(e^{-i\theta} X(B + e^{2i\theta} \sigma I) = e^{-i\theta} A \bar{X} + e^{i\theta} \sigma X\) と書ける。この式がフルカラムランクを持たない \(\theta \in [0, \pi)\) は最大で g 個である。任意の \(\theta \in [0, \pi)\) を選び、\(Y = e^{-i\theta} A \bar{X} + e^{i\theta} \sigma X\) とする。これにより \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。適切な \(\theta\) は試行錯誤（guess and check）で特定できる。各列は \(y_j = e^{-i\theta} A x_j + e^{i\theta} x_j, j = 1, ..., g\) の形をしており、各 \(y_j\) は \(x_j\) のみに依存する。

アルゴリズム III \(\lambda X = A \bar{A} X = A(A \bar{X}) = A(X B) = X B \bar{B}\) が成り立つことを確認し、なぜ \(B \bar{B} = \lambda I\) すなわち \(\sigma^{-1} B\) が共反転行列であるかを説明せよ。もし \(C\) が共反転行列であれば、\(C = E^2\) となる共反転行列 \(E\) が存在することが知られている（Horn and Johnson, 1991, (6.4.22)）。\(\sigma^{-1} B = E^2\) とおき、\(Y = X E\) とすると、\(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。各列は \(x_1, ..., x_g\) の線形結合であり、その係数行列はある種の回転を表す（\(E \bar{E} = I\））。

これら 3 つのアルゴリズムは、\(g = 1\) の場合に何を生成するか？(4.6.6) と比較せよ。

4.6.P18

\(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と書き、\(A_1, A_2 \in M_n(\mathbb{R})\) とする。その実表現を次のように定義する：

R_2(A) = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_2 & -A_1 \end{pmatrix} \in M_{2n}(\mathbb{R})

ここで \(x = u + i v \neq 0\)、\(u, v \in \mathbb{R}^n\)、\(w = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\)、\(T = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}\)、および \(z = T w\) とする。

(a) 次を示せ： \(A \bar{x} = \sigma x, \sigma \in \mathbb{R} \iff \begin{pmatrix} \mathrm{Re} A \bar{x} \\ \mathrm{Im} A \bar{x} \end{pmatrix} = \sigma \begin{pmatrix} \mathrm{Re} x \\ \mathrm{Im} x \end{pmatrix} \iff R_2(A) w = \sigma w, \sigma \in \mathbb{R}\)。これは通常の実固有値問題である。

(b) 次を示せ： \(A \bar{x} = \sigma x, \sigma \in \mathbb{R} \iff A(i x) = -\sigma (i x), \sigma \in \mathbb{R} \iff R_2(A) z = -\sigma z, \sigma \in \mathbb{R}\)

(d) 次を説明せよ：\(A\) が共役-固有値を持つのは、\(R_2(A)\) が実固有値を持つ場合に限り、それは \(A \bar{A}\) が非負の実固有値を持つ場合に限る。

(e) \(\sigma\) が \(R_2(A)\) の正の固有値で幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。\(w_1, ..., w_g\) を \(\sigma\) に対応する一次独立（\(\mathbb{R}\) 上）固有ベクトルとし、次を定義する：

w_j = \begin{pmatrix} u_j \\ v_j \end{pmatrix}, \quad z_j = T w_j, \quad y_j = u_j + i v_j, \quad \\ \alpha_j, \beta_j \in \mathbb{R}, \quad c_j = \alpha_j + i \beta_j, \quad j = 1, \dots, g

なぜ \(z_1, ..., z_g\) が \(-\sigma\) に対応する一次独立（\(\mathbb{R}\) 上）固有ベクトルであるかを説明せよ。さらに次を示せ：

\sum_{j=1}^{g} c_j y_j = 0 \\ \implies \sum_{j=1}^{g} \alpha_j u_j = \sum_{j=1}^{g} \beta_j v_j, \quad \\ \sum_{j=1}^{g} \alpha_j v_j = - \sum_{j=1}^{g} \beta_j u_j \\ \implies \sum_{j=1}^{g} \alpha_j w_j = - \sum_{j=1}^{g} \beta_j z_j \\ \implies \sum_{j=1}^{g} \alpha_j \sigma w_j = \sum_{j=1}^{g} \beta_j \sigma z_j \\ \implies \sum_{j=1}^{g} \alpha_j w_j = 0, \ \sum_{j=1}^{g} \beta_j z_j = 0 \\ \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_g = 0, \\ \ \beta_1 = \cdots = \beta_g = 0 \\ \implies c_1 = \cdots = c_g = 0

結論として、\(y_1, ..., y_g\) は正の共役-固有値 \(\sigma\) に対応する一次独立（\(\mathbb{C}\) 上）共役-固有ベクトルである。 (f) (1.3.P21(c)) を用いて、\(g\) が \(A \bar{A}\) の固有値 \(\sigma^2\) の幾何重複度に等しいことを示せ。

4.6.P19

\(A, B \in M_n\) とする。実表現 \(R_2(A)\) と \(R_2(B)\) が相似（similar）であるのは、\(A\) と \(B\) が共役相似（consimilar）である場合に限ることを示せ。

4.6.P20

\(A \in M_n\) が特異（singular）であるとする。次を説明せよ：零の共役-固有値に対応する共役-固有空間 \(N = \{x \in \mathbb{C}^n : A \bar{x} = 0\}\) は、\(A \bar{A}\) の零空間 \(S = \{x \in \mathbb{C}^n : A \bar{A} x = 0\}\) の部分空間である。さらに、\(\mathrm{rank} A = \mathrm{rank} A \bar{A}\) の場合、\(N = S\) となる理由を説明せよ。

4.6.P21

\(A \in M_n\) が共役対角化可能（condiagonalizable）であるとする。次のアルゴリズムにより、\(A \bar{A}\) の通常の対角化から \(A\) の共役対角化を構成する手順を詳細に説明せよ。 \(A \bar{A} = S \Lambda S^{-1}\)、\(\Lambda = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d}\) は \(A \bar{A}\) の異なる固有値 \(\lambda_1 > \cdots > \lambda_d \ge 0\) であり、非特異行列 \(S\) は \(\Lambda\) に応じて分割され \(S = [S_1 \dots S_d]\) とする。各 \(j\) について \(\lambda_j > 0\) なら \(\sigma_j = \sqrt{\lambda_j} > 0\)、\(\lambda_d = 0\) なら \(\sigma_d = 1\) とする。次に \(\Phi = \sigma_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \sigma_d I_{n_d}\) とする。各 \(j = 1, \dots, d\) について、\(\theta_j \in [0, \pi)\) を選び、\(Y_j = e^{-i \theta_j} A \bar{S_j} + e^{i \theta_j} \sigma_j S_j\) とし、\(\mathrm{rank}\,Y_j = n_j\) となるようにする（最大で \(n_j\) 個の値は除外される）。\(\lambda_d = 0\) の場合は \(\theta_d = 0\)。\(Y = [Y_1 \dots Y_d]\) とすると、\(A \bar{Y} = Y \Phi\) かつ \(Y\) は非特異であり、よって \(A = Y \Phi \bar{Y}^{-1}\) は共役対角化である。さらに \(\Theta = e^{i \theta_1} I_{n_1} \oplus \cdots \oplus e^{i \theta_d} I_{n_d}\) として、\(Y = A \bar{S} \bar{\Theta} + S \Phi \Theta\) が成り立つ。各 \(n_j = 1\) の場合はどうなるか？(4.6.8) と比較せよ。

4.6.P22

ニルポテンシャント・ジョルダン行列 \(J = J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(0)\) を考え、\(q = \max\{n_1, \dots, n_k\}\) とする。\(w_1, ..., w_q\) を \(J\) の Weyr 特性とし、\(w_1 = k\) とする。Horn and Johnson (1991, Corollary 6.4.13) により、\(J\) があるニルポテンシャント行列の平方のジョルダン標準形となるのは、\(w_1, ..., w_q\) に同じ奇数が連続して現れず、かつ k が奇数なら \(w_1 - w_2 > 0\) の場合に限る。次のジョルダン行列のうちどれがニルポテンシャント行列の平方のジョルダン標準形になるか？必要ならその行列を示せ。\(J = J_2(0)\); \(J = J_2(0) \oplus J_2(0)\); \(J = J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0)\); \(J = J_3(0) \oplus J_1(0)\); \(J = J_5(0) \oplus J_2(0) \oplus J_1(0)\)

4.6.P23

\(A \in M_n\) とする。\(J = B \oplus N\) を \(A \bar{A}\) のジョルダン標準形とする。ただし、\(B\) は非特異、\(N\) はニルポテンシャントである。(4.6.16) から次を導け： (a) \(B\) は次の2種類のブロックの直和で構成される：\(\,J_k(\lambda)\)（\(\lambda\) は実かつ正）、および \(J_k(\mu) \oplus J_k(\bar{\mu})\)（\(\mu\) は実かつ正でない）; (b) \(N\) はあるニルポテンシャント行列の平方に相似である。\(J_1(1) \oplus J_2(0)\) は、ある \(A \in M_3\) に対する \(A \bar{A}\) のジョルダン標準形になり得るか？

4.6.P24

\(A \in M_n\) とし、次の行列を考える：

A = \begin{pmatrix} 0 & A \\ \bar{A} & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}

コローラリー 4.6.15 により、非特異行列 \(S \in M_n\) と実行列 \(R \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して、\(A = S R \bar{S}^{-1}\) となることが保証される。(a) 次を示せ： \(A\) は \(S \oplus \bar{S}\) を使って次の行列に相似である：

\begin{pmatrix} 0 & R \\ R & 0 \end{pmatrix}

(b) なぜ \(A\) のジョルダン標準形が次の2種類の直和ブロックのみで構成されるかを説明せよ：

J_k(\lambda) \oplus J_k(-\lambda) \quad (\lambda \text{ 実かつ非負}), \quad \\ J_k(\lambda) \oplus J_k(-\lambda) \oplus J_k(\bar{\lambda}) \oplus J_k(-\bar{\lambda}) \quad (\lambda \text{ 実でない})

4.6.P25

(4.5.P35) を再訪せよ。(4.5.17) を使って、非特異行列 \(S \in M_2\) が存在して、\(S^* A S\) と \(S^T B S\) が両方とも対角行列になることはないことを示せ。

4.6.P26

\([d_{ij}] \in M_n\) を上三角行列とする。行列 \([d_{ij}]\) と \(D = d_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus d_k I_{n_k}\) が同じ主対角線を持ち、かつ \(d_1, \dots, d_k\) が実かつ非負で異なる場合、\(\bar{[d_{ij}]}\) が正規であるなら、\([d_{ij}] = [d_1] \oplus \cdots \oplus [d_k]\) であり、各 \([d_j] \in M_{n_j}\) は上三角で主対角線が \(d_j I_{n_j}\) と一致することを示せ。

4.6.P27

(4.6.9) のユニタリ共役相似の類似版がある：\(B \in M_m\) で \(B \bar{B} = I\) のとき、ユニタリ行列 \(U \in M_m\) が存在して次を満たす：

B = U \Big( I_{n-2q} \oplus \begin{pmatrix} 0 & \sigma_1 \\ \sigma_1^{-1} & 0 \end{pmatrix} \oplus \dots \oplus \begin{pmatrix} 0 & \sigma_q \\ \sigma_q^{-1} & 0 \end{pmatrix} \Big) U^T

ここで \(\sigma_1, \sigma_1^{-1}, \dots, \sigma_q, \sigma_q^{-1}\) は 1 以外の \(B\) の特異値である。

(a) この事実と (3.4.P5) を使って、与えられた \(A \in M_n\) がユニタリ合同で次のブロックの直和に変形できることを証明せよ：

[\sigma], \quad \begin{pmatrix} 0 & s \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ t^{-2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \\ \sigma, \tau, s, t \in \mathbb{R}, \\ \ \sigma \ge 0, \tau \gt 0, s \gt 0, 0 \lt t \lt 1

これは \(A \bar{A}\) が半正定値（すなわち、ユニタリ対角化可能で非負の実固有値を持つ）である場合に限る。

(b) 2つの共逆行列がユニタリ合同であるのは、特異値が同じ場合に限る理由を説明せよ。(4.6.19) の因数分解は、共逆行列に対する特別な特異値分解であり、歪対称行列の特別な特異値分解 (2.6.6.1) に類似していると考えられる。

(d) (a) の標準形を (4.4.P43) のものと比較せよ。

4.6.P28

次の行列を考える：

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

これは実行列、複素行列、または四元数行列として扱うことができる。次を確認せよ：

(a) \(A\) は実固有ベクトルを持たず、従って実固有値も持たない。つまり、非ゼロの実ベクトル \(x\) と実スカラー \(\lambda\) で \(Ax = \lambda x\) を満たすものは存在しない。しかし、複素固有ベクトル \(x_{\pm} = \begin{pmatrix} \pm i \\ 1 \end{pmatrix}\) と複素固有値 \(\lambda_{\pm} = \pm i\) を持つ。

(b) \(A\) は複素共役-固有ベクトルを持たず、従って複素共役-固有値も持たない。つまり、非ゼロの複素ベクトル \(x\) と複素スカラー \(\lambda\) で \(A \bar{x} = \lambda x\)（同値に \(A \bar{x} = x \lambda\)）を満たすものは存在しない。しかし、四元数共役-固有ベクトル \(x_{\pm} = \begin{pmatrix} \pm j \\ k \end{pmatrix}\) と四元数右共役-固有値 \(\lambda_{\pm} = \pm i\) を持つ：\(A \bar{x}_{\pm} = x_{\pm} \lambda_{\pm}\)。一方、四元数左共役-固有値に対応する共役-固有ベクトルは存在しない：非ゼロの四元数ベクトル \(x\) と四元数スカラー \(\lambda\) で \(A \bar{x} = \lambda x\) を満たすものはない。確認の際は、四元数の共役積の逆順則 \(ab = \bar{b} \bar{a}\) に注意すること。

補足と参考文献

共役相似（consimilarity）や (4.6.P4) の最後の文にある主張の証明について詳しく知りたい場合は、(4.5) の末尾で引用されている Hong と Horn の論文を参照せよ。

(4.6.12) および (4.6.15) における、共役相似によるエルミート行列や実行列への共役相似の主張の証明については、Y. P. Hong および R. A. Horn, "A canonical form for matrices under consimilarity", Linear Algebra Appl. 102 (1988) 143–168 を参照せよ。

(4.6.16) の主張は、共役相似の標準形 (4.6.12) を用いなくても証明可能である。詳細は K. Asano および T. Nakayama, "Über halblineare Transformationen", Math. Ann. 115 (1938) 87–114, Satz 20 を参照せよ。

(4.6.17) の証明および (4.6.16) の別の証明については、P. L. Hsu, "On a kind of transformations of matrices", Acta Math. Sinica 5 (1955) 333–346 を参照せよ。また、(4.6.17) への別のアプローチは R. A. Horn と D. I. Merino, "Contragredient equivalence: A canonical form and some applications", Linear Algebra Appl. 214 (1995) 43–92, Theorem 30 にある。

(4.6.19) の標準形の証明については、R. A. Horn および V. V. Sergeichuk, "Canonical forms for unitary congruence and ∗congruence", Linear Multilinear Algebra 57 (2009) 777–815, Corollary 8.4 を参照せよ。

(4.6.P28) の内容についてさらに詳しく知りたい場合は、Huang Liping, "Consimilarity of quaternion matrices and complex matrices", Linear Algebra Appl. 331 (2001) 21–30 を参照せよ。