[行列解析4.5.P4]

4.5.問題4

4.5.P4

(4.5.17(a)) の一般化を証明せよ：

\(A_1, A_2, \dots, A_k ∈ M_n\) がエルミートで、\(A_1\) が非特異であるとする。ある非特異 \(T ∈ M_n\) が存在して \(T^∗ A_i T\) が全ての \(i = 1, \dots, k\) に対して対角行列となるのは、かつそのときに限り \(\{A_1^{-1} A_i : i = 2, \dots, n\}\) が実固有値を持つ可換対角化可能行列族であることを示せ。(4.5.17(b)) の対応する一般化は何か？

(a) \(A\) と \(B\) がエルミートであり、かつ \(A\) が非特異であるとする。このとき \(C = A^{-1}B\) とおく。ある非特異行列 \(S \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda, M\) が存在して、
A = S \Lambda S^{*}, \quad B = S M S^{*}
となるのは、\(C\) が対角化可能で実固有値を持つ場合に限る。