4.5.21定理
定理 4.5.21.
各正方複素行列は、次の3種類の型の行列の直和に ∗合同であり、この直和は直和因子の順列を除いて一意に定まる：
型 0: \(J_k(0), \; k = 1, 2, \dots\)
型 I: \(\Lambda_k, \; k = 1, 2, \dots\)、ただし \(\lambda = e^{i\theta}, \; 0 \leq \theta \lt 2\pi\)
型 II: \(H_{2k}(\mu), \; k = 1, 2, \dots\)、ただし \(|\mu| \gt 1\)
別の表現として、対称な型 I の行列 \(\Lambda_k\) の代わりに、(4.5.24) で定義される実行列 \(\Xi_k\)、あるいは \(\phi_k\) が実数で \(F_k^{-*}F_k\) がジョルダンブロック \(J_k(e^{i\phi_k})\) に相似であるような任意の非特異行列 \(F_k \in M_k\) を用いることもできる。
ジョルダン標準形と同様に、この ∗合同標準形定理の一意性の主張は、応用において最も有用な特徴の一つである。
演習.
非特異な \(A, B, S \in M_n\) があり、\(A = S B S^{*}\) とする。このとき \(A^{-*}A = S^{-*}(B^{-*}B)S^{*}\) であり、さらに \(A^{-*}A\) は \(B^{-*}B\) と同じジョルダン標準形を持つことを説明せよ。
演習.
\(A = [i] \in M_1\)、\(B = [-i] \in M_1\) とする。このとき \(A^{-*}A = B^{-*}B\) であるが、\(A\) は \(B\) と ∗合同ではないことを説明せよ。ヒント: \(S = [s]\) のとき、\(SAS^{*} = ?\)
(4.5.21) の型 0、型 I、型 II の行列は、∗合同における標準ブロックである。ある \(A \in M_n\) に ∗合同な標準ブロックの直和が、その ∗合同標準形である。2つの ∗合同標準形は、標準ブロックの並べ替えによって一致する場合に同一とみなされる。
与えられた \(\theta \in [0, 2\pi)\) に対して、ある \(A \in M_n\) の ∗合同標準形が正確に \(m\) 個の \((e^{i\theta})_k\) という形のブロックを含む場合、\(\theta\) は \(A\) の位数 \(k\)、重複度 \(m\) の標準角であるという。または、複素平面上の半直線 \(\{r e^{i\theta} : 0 \lt r \lt \infty\}\) を、位数 \(k\)、重複度 \(m\) の標準半直線と呼ぶ。もし \(A\) の型 I ブロックがすべて \(1 \times 1\) 行列であることが分かっている場合（例えば \(A\) が正規行列のとき、(4.5.P11) 参照）、通常は位数を言及せず、標準角（標準半直線）\(\theta\) とその重複度だけを述べる。
ある \(A \in M_n\) の型 0 ブロック全体の直和を、その ∗合同に関する特異部分という。\(A\) の型 I および型 II ブロック全体の直和に ∗合同な任意の行列を、その ∗合同に関する正則部分という。特異部分は一意に定まり（直和因子の順列を除く）、正則部分の ∗合同同値類も一意に定まる。
もし \(A \in M_n\) が非特異であれば、行列 \(A^{-*}A\) は \(A\) の ∗コスクエア（∗cosquare）と呼ばれる。前の演習により、非特異な ∗合同行列は類似な ∗コスクエアを持つが、類似な ∗コスクエアを持つ行列が必ずしも ∗合同であるとは限らない。多くの異なる行列が \(A\) の正則部分となり得るが、それらはすべて同じ ∗合同同値類に属さなければならない。
∗コスクエアのジョルダン標準形は、次の計算によって制約を受ける：
(A^{-*}A)^{-*} = AA^{-*}
ここで、これは \(A^{-*}A\) に相似である (1.3.22)。したがって、もし \(\mu\) が \(A^{-*}A\) の固有値（必ず非零）であり、\(J_k(\mu)\) が \(AA^{-*}\) のジョルダン標準形のブロックであれば、\(J_k(\mu)^{-*}\)（すなわち \(J_k(\overline{\mu}^{-1})\)）に相似なジョルダンブロックも存在しなければならない。もし \(|\mu| = 1\) の場合、この観察は有益な情報を与えない。なぜなら \(\overline{\mu}^{-1} = \mu\) となるからである。しかし、\(|\mu| \neq 1\) の場合、ジョルダン標準形の任意のブロック \(J_k(\mu)\) は \(J_k(\overline{\mu}^{-1})\) と対をなす。このように、∗コスクエアのジョルダン標準形には、実数 \(\theta\) に対する \(J_k(e^{i\theta})\) の形のブロック、または \(|\mu| \neq 1\) のとき \(J_k(\mu) \oplus J_k(\overline{\mu}^{-1})\) の形のペアしか現れない。
非特異な \(A \in M_n\) の ∗合同標準形 (4.5.21) におけるブロック \(\Lambda_k\) および \(H_{2k}(\mu)\) は、∗コスクエアの特殊なジョルダン標準形から生じる。もし \(\mu \neq 0\) であれば、
H_{2k}(\mu)^{-*} H_{2k}(\mu) =
\begin{bmatrix}
0 & J_k(\mu)^{-1} \\
I_k & 0
\end{bmatrix}^{*}
\begin{bmatrix}
0 & I_k \\
J_k(\mu) & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
J_k(\mu) & 0 \\
0 & J_k(\mu)^{-*}
\end{bmatrix}
これは \(J_k(\mu) \oplus J_k(\overline{\mu}^{-1})\) に相似である。したがって、∗コスクエアのジョルダン標準形において \(|\mu| \neq 1\) の場合、ブロック \(H_{2k}(\mu)\) と \(J_k(\mu) \oplus J_k(\overline{\mu}^{-1})\) の間には一対一の対応が存在する。
もし \(|\lambda| = 1\) であれば、計算により \((\Lambda_k)^{-*}(\Lambda_k)\) は \(J_k(\lambda^2)\) に相似であることが分かる（4.5.P15 参照）。非特異な \(A \in M_n\) の ∗コスクエアのジョルダン標準形が
J_{k_1}(e^{i\theta}) \oplus \cdots \oplus J_{k_p}(e^{i\theta}) \oplus J
であり、\(\theta \in [0, 2\pi)\)、かつ \(e^{i\theta}\) が \(J\) の固有値でないならば、\(A\) の ∗合同標準形は
\pm e^{i\theta/2}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \pm e^{i\theta/2}_{k_p} \oplus C
となる。ただし、特定の ± 符号の選択がなされ、かつ \(C\) には \(\pm e^{i\theta/2}_k\) の形のブロックは含まれない。この ± 符号は \(A\) の ∗コスクエアからは決定できないが、\(A\) の他の情報を用いることで決定できる。
演習.
非特異な \(A \in M_n\) の ∗コスクエアのジョルダン標準形が、その標準半直線を含む複素平面上の直線のみを決定する理由を説明せよ。それは標準半直線（角度）の位数を決定するが、重複度は決定しない。
∗合同標準形の最初の応用は、次に述べる消去定理を得ることである：
行列解析の総本山
コメント