[行列解析4.5.17]定理

4.5.17定理

定理 4.5.17.

\(A, B \in M_n\) とする。

(a) \(A\) と \(B\) がエルミートであり、かつ \(A\) が非特異であるとする。このとき \(C = A^{-1}B\) とおく。ある非特異行列 \(S \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda, M\) が存在して、

A = S \Lambda S^{*}, \quad B = S M S^{*}

となるのは、\(C\) が対角化可能で実固有値を持つ場合に限る。

(b) \(A\) と \(B\) が対称であり、かつ \(A\) が非特異であるとする。このとき \(C = A^{-1}B\) とおく。ある非特異行列 \(S \in M_n\) と複素対角行列 \(\Lambda, M\) が存在して、

A = S \Lambda S^{T}, \quad B = S M S^{T}

となるのは、\(C\) が対角化可能な場合に限る。

(c) \(A\) がエルミート、\(B\) が対称であり、かつ \(A\) または \(B\) の少なくとも一方が非特異であるとする。もし \(A\) が非特異なら \(C = A^{-1}B\)、もし \(B\) が非特異なら \(C = B^{-1}A\) とおく。ある非特異行列 \(S \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda, M\) が存在して、

A = S \Lambda S^{*}, \quad B = S M S^{T}

となるのは、\(C\) が条件付き対角化可能（condiagonalizable）な場合に限る。

証明.

各場合について、合同による同時対角化に必要な条件は計算によって確認できるので、ここでは十分性だけを議論する。最初の2つの場合は並行した議論で証明できるが、3つ目は少し異なる。

(a) \(A, B\) がエルミート、かつ \(A\) が非特異であると仮定する。非特異行列 \(S\) が存在して

C = A^{-1}B = S \Lambda S^{-1}, \quad \Lambda = \lambda_{1} I_{n_{1}} \oplus \cdots \oplus \lambda_{d} I_{n_{d}}

が成り立ち、\(\Lambda\) は実対角行列であり、\(\lambda_{1} \lt \cdots \lt \lambda_{d}\) とする。このとき \(BS = AS\Lambda\) なので、\(S^{*}BS = S^{*}AS\Lambda\) となる。ブロック分割により、

B_{ij} = \lambda_{j} A_{ij}, \quad B_{ji} = \lambda_{i} A_{ji}

が得られる。両者がエルミートであることから \((\lambda_i - \lambda_j) A_{ij} = 0\) が導かれ、したがって \(A_{ij} = 0\)（\(i \neq j\)）である。従って \(S^{*}AS, S^{*}BS\) は同時にブロック対角化される。さらに各ブロックはユニタリ変換で実対角化できるので、所望の形が得られる。

(b) \(A, B\) が対称、かつ \(A\) が非特異である場合も同様に議論できる。ただしここでは \(\Lambda\) が複素対角行列となる。

(c) \(A\) がエルミート、\(B\) が対称で、少なくとも一方が非特異であるとする。もし \(A\) が非特異なら \(C = A^{-1}B\)、そうでなく \(B\) が非特異なら \(C = B^{-1}A\) とおく。このとき \(C\) が条件付き対角化可能であると仮定する。ブロック分割により、\(S^{*}AS, S^{*}\bar{B}S\) は同時に対角ブロック化され、各ブロックが実対称であることを利用して所望の結果が得られる。

したがって、3つの場合のそれぞれについて定理が示された。

演習問題：

前の定理の(c)の証明の後半部分について、詳細を示しなさい。

演習問題：

(4.4.25)を再検討し、(4.5.17b)における条件が行列 \(A\) と \(B\) を大きく制限する理由を説明しなさい。

前の定理の(a)および(b)の部分では、合同変換による同時対角化と同値な、行列 \(C = A^{-1}B\) に対する既知の条件が存在する。すなわち、\(C\) が対角化可能である（場合によっては実固有値をもつ）。一方、(c)の部分では、\(C\) が「条件付き対角化可能（condiagonalizable）」であることを要求する。これは次の条件と同値である：

・\(\mathrm{rank}\, C = \mathrm{rank}\,(C \overline{C})\)
・\(C \overline{C}\) のすべての固有値は実数かつ非負である
・\(C \overline{C}\) が対角化可能である（(4.6.11)参照）

零でない特異エルミート行列の組を同時 ∗合同によって対角化する問題を研究するために、少し立ち止まって新しい道を取る。任意の \(A \in M_n\) は一意に次のように表せる：