[行列解析4.4.P47]

4.4.問題47

(2.5.P69) の定義と表記を用いる。

(a) \(M_A \bar{W} = W M_B\) のとき、\(W\) はブロック上三角であり、奇数の場合は \(W_{ii} = W_{11}\)、偶数の場合も \(W_{ii} = W_{11}\) であることを示せ。

(b) \(W\) がユニタリで \(M_A \bar{W} = W M_B\)（すなわち \(M_A = W M_B W^T\)、よって \(M_A\) は \(W\) を介して \(M_B\) にユニタリ合同）であると仮定する。

このとき \(W_{11} = U\) がユニタリであり、
奇数の場合 \(W_{ii} = U\)、
偶数の場合 \(W_{ii} = \bar{U}\) であり、
\(W = U \oplus \bar{U} \oplus U \oplus \cdots\) がブロック対角であることを示せ。

さらに：

・\(i\) が奇数で \(j\) が偶数の場合、
\(A_{ij} = U B_{ij} U^*\)（\(U\) を介した同時ユニタリ相似）

・\(i\) と \(j\) が共に奇数の場合、
\(A_{ij} = U B_{ij} U^T\)（\(U\) を介した同時ユニタリ合同）

・\(i\) と \(j\) が共に偶数の場合、
\(A_{ij} = \bar{U} B_{ij} U^*\)（\(\bar{U}\) を介した同時ユニタリ合同）

・\(i\) が偶数で \(j\) が奇数の場合、
\(A_{ij} = \bar{U} B_{ij} U^T\)（\(\bar{U}\) を介した同時ユニタリ相似）

(c) (a) および (b) の考え方を、与えられた行列の組が同時にユニタリ相似／合同であるかを判定するアルゴリズムにどのように利用できるか説明せよ。