4.4.問題25
4.4.P25
対称行列 \(A \in M_n\) の固有値・固有ベクトルペアを \((\lambda, x)\) とする。
(a) なぜ \(\overline{x}\) が \(A\) の左固有ベクトルとなるか説明せよ。
(b) \(x\) が等方的である場合、前問を用いて \(\lambda\) が \(A\) の単純固有値ではないことを示せ。
特に、\(A\) は \(n\) 個の異なる固有値を持つことはできない。
(c) \(\lambda\) の幾何的重複度が 1 で単純固有値でない場合、なぜ \(x\) が等方的か説明せよ。
(d) (4.4.24) の直前の演習で構築された対称ブロック \(S_m J_m(\lambda) S_m^{-1}\) が、\(m > 1\) の場合に等方的固有ベクトルを持つ理由を説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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