4.4.問題2
4.4.P2
実表現を用いた (4.4.4c) のアプローチの詳細を示せ。
行列 \(A \in M_n\) を対称とする。
もし \(A\) が特異であり
\(\mathrm{rank} A = r\)
ならば、ユニタリ合同で
\(A' \oplus 0_{n-r}\) に変換でき、
ここで \(A' \in M_r\) は正則かつ対称である（2.6.P20(b)参照）。
次に \(A\) が対称かつ正則とする。
\(A = A_1 + i A_2\) と分け、\(A_1, A_2\) は実、
\(x, y \in \mathbb{R}^n\) とする。
実表現を考える:
R_2(A) =
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_2 & -A_1
\end{pmatrix}
ここで \(A_1, A_2, R_2(A)\) は実対称である。
(a) \(R_2(A)\) は正則である。
(b) \(R_2(A) \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}\)
であることと、
\(R_2(A) \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = -\lambda \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\)
が同値である。
したがって、\(R_2(A)\) の固有値は ± のペアで現れる。
(c) 正の固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) に対応する \(R_2(A)\) の直交固有ベクトルを
\(\begin{pmatrix} x_1 \\ -y_1 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} x_n \\ -y_n \end{pmatrix}\)
とする。
行列
\(X = [x_1 \dots x_n]\)、
\(Y = [y_1 \dots y_n]\)、
\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) とし、
V =
\begin{pmatrix} X & Y \\ -Y & X \end{pmatrix}, \quad
\Sigma = \Lambda \oplus (-\Lambda)
とする。
すると \(V\) は実直交行列であり、
\(R_2(A) = V \Sigma V^T\) が成り立つ。
さらに \(U = X - iY\) とすると、
\(V = R_1(\overline{U})\) （1.3.P20参照）。
なぜ \(U\) がユニタリかを説明し、
\(U \Lambda U^T = A\) を示せ。
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