4.4.問題16
4.4.P16
(4.4.17) の 2×2 実直交ブロックは、非実非負でない \(A\overline{A}\) の固有値ペア \(\tau_{2j} e^{\pm 2i \theta_j}\), \(\theta_j \in (0, \pi/2]\) から得られる角度により決定される（\(a_j = \cos \theta_j, b_j = \sin \theta_j\)）。
前問を用いて、各ブロックが次のユニタリブロック（したがって合同正規）にユニタリ合同であることを示せ：
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ e^{2i\theta_j} & 0 \end{pmatrix}
この観察が、合同正規行列の標準形（4.4.17）の代替としてどのように導かれるかを説明せよ。
すなわち、\(A \in M_n\) が共役正規であることと、各ブロックが
(4.4.28)
\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix}
\quad \text{または} \quad
\tau \begin{pmatrix}0 & 1 \\ e^{i\theta} & 0\end{pmatrix}\\
\sigma, \tau, \theta \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau \gt 0, 0 \lt \theta \le \piであるブロックの直和にユニタリ合同であることは同値である（4.4.28）。
各ブロックのパラメータが \(A\overline{A}\) の固有値によって一意に決定される理由を説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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