[行列解析4.4.27]定理

4.4.27

定理 4.4.27.

\( A \in M_n \) が対称行列であるとする。このとき、A は対角化可能であるのは、複素直交行列によって対角化可能である場合に限る。

証明.

もし複素直交行列 \( Q \) が存在して \( Q^T A Q \) が対角行列なら、もちろん A は対角化可能である。したがって、興味があるのは逆の主張である。

A が対角化可能であるとし、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) を A の固有ベクトルとする。すなわち \( A x = \lambda x \)、\( A y = \mu y \) とする。このとき、\(\overline{y}^* A = (A y)^T = \mu y^T = \mu \overline{y}^*\) となる。

もし \(\lambda \neq \mu\) なら、双正規直交原理 (1.4.7) により \( x \) は \(\overline{y}\) と直交し、すなわち \(\overline{y}^* x = y^T x = 0\) が成り立つ。

A の異なる固有値を \(\lambda_1, \dots, \lambda_d\)、それぞれの重複度を \( n_1, \dots, n_d \) とする。非特異行列 \( S \) と対角行列 \(\Lambda = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d} \) によって

A = S \Lambda S^{-1}

と表す。S の列を \(\Lambda\) に合わせてブロック分割し、S = [S1 S2 … Sd] とする。このとき \( A S_i = \lambda_i S_i \) が \( i = 1, 2, …, d \) に対して成り立つ。

双正規直交性により、もし \( i \neq j \) なら \( S_i^T S_j = 0 \) となる。したがって、

S^T S = S_1^T S_1 \oplus \cdots \oplus S_d^T S_d

となり、ブロック対角行列である。S^T S が非特異であるため、各対角ブロック \( S_i^T S_i \) も非特異である (i = 1, …, d)。

したがって、式 (4.4.26) により各 S_i は \( S_i = Y_i B_i \) と表せ、ここで \( Y_i^T Y_i = I_{n_i} \)、B_i は非特異である。また、0 = S_i^T S_j = B_i^T Y_i^T Y_j B_j (i \neq j) から \( Y_i^T Y_j = 0 \) が得られる。

Y = [Y1 … Yd] と B = B1 ⊕ … ⊕ Bd とすると、Y は複素直交行列であり、B は非特異、S = Y B、A = S Λ S^{-1} = Y B Λ B^{-1} Y^T = Y (λ1 B1 B1^{-1} ⊕ … ⊕ λd Bd Bd^{-1}) Y^T = Y Λ Y^T となる。

定理 4.4.27 には重要な一般化がある。もし A, B ∈ M_n で、単一の多項式 p(t) が存在して A^T = p(A)、B^T = p(B) を満たす場合(特に A と B が対称行列の場合)、A と B は複素直交相似による場合に限り相似である(Horn and Johnson (1991), corollary 6.4.18 を参照)。

式 (4.4.24) の前の演習は、相似による対称正準形を得るために組み合わせることができる対称正準ブロックの構築方法を示している。


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