[行列解析4.4.25]系

4.4.25

系 4.4.25.

\( A \in M_n \) が与えられたとする。このとき、対称行列 \( B, C \in M_n \) が存在して、

A = BC

が成り立つ。さらに、\( B \) または \( C \) のいずれかを非特異に選ぶことができる。

証明.

前の定理を用いて

A = S E S^{-1}

と書ける。ここで \( E = E^T \)、かつ \( S \) は非特異である。すると、

A = (S E S^T) S^{-T} S^{-1} = (S E S^T)(S S^T)^{-1} = (S S^T)(S^{-T} E S^{-1})

が成り立つ。

次の補題は、複素対称行列の対角化を議論する際に有用である。