[行列解析4.4.2]補題

4.4.2

補題 4.4.2. \(A \in M\_n\) とし、\(\lambda\) を \(A \bar{A}\) の固有値、\(x \in \mathbb{C}^n\) を \(\lambda\) に対応する \(A \bar{A}\) の単位固有ベクトルとする。次に \(S = \mathrm{span}\{A \bar{x}, x\}\) と定めると、その次元は 1 または 2 である。

(a) もし \(\dim S = 1\) ならば、\(\lambda\) は実数かつ非負であり、\(S\) の中に単位ベクトル \(z\) が存在して、\(A \bar{z} = \sigma z\) を満たす。ただし \(\sigma \geq 0\) で \(\sigma^2 = \lambda\) である。

(b) もし \(\dim S = 2\) ならば、\(\lambda\) が実数かつ非負である場合、\(S\) の中に単位ベクトル \(z\) が存在して、\(A \bar{z} = \sigma z\) を満たす。ただし \(\sigma \geq 0\) で \(\sigma^2 = \lambda\) である。もし \(\lambda\) が実数でないか、または実数であっても負である場合、任意の \(y \in S\) に対して \(A \bar{y} \in S\) が成り立つ。

証明. (a) \(\dim S = 1\) のとき、\(\{A \bar{x}, x\}\) は一次従属であり、\(A \bar{x} = \mu x\) となる \(\mu \in \mathbb{C}\) が存在する。このとき

\lambda x = A A \bar{x} = A(\mu \bar{x}) = \bar{\mu} A x = \bar{\mu}\mu x = |\mu|^2 x

したがって \(|\mu|^2 = \lambda\) である。ここで \(\theta \in \mathbb{R}\) を選んで \(e^{-2i\theta}\mu = |\mu|\) を満たさせ、\(\sigma = |\mu|\) とおく。すると

A(e^{i\theta}x) = e^{-i\theta} A\bar{x} = e^{-i\theta}\mu x = (e^{-2i\theta}\mu)(e^{i\theta}x) = |\mu|(e^{i\theta}x) = \sigma(e^{i\theta}x)

したがって \(z = e^{i\theta}x\) は \(S\) に属する単位ベクトルであり、\(A \bar{z} = \sigma z\) を満たす。ここで \(\sigma \geq 0, \ \sigma^2 = \lambda\) である。

(b) \(\dim S = 2\) のとき、\(\{A \bar{x}, x\}\) は一次独立なので、これは \(S\) の基底を成す。任意の \(y \in S\) は \(y = \alpha A \bar{x} + \beta x\) と表せる (\(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\))。このとき

A\bar{y} = A(\bar{\alpha}A \bar{x} + \bar{\beta}x) = \bar{\alpha}AA \bar{x} + \bar{\beta}A \bar{x} = \bar{\alpha}\lambda x + \bar{\beta}A \bar{x} \in S

ゆえに \(A \bar{y} \in S\) が成り立つ。さらに \(\lambda\) が実数かつ非負の場合、\(\sigma = \sqrt{\lambda} \geq 0\) とおき、\(y = A \bar{x} + \sigma x\) とすれば、これは零でない非自明な線形結合である。すると

\begin{align} A\bar{y} &= A(A \bar{x} + \sigma x) \notag \\ &= AA \bar{x} + \sigma A \bar{x} \notag \\ &= \lambda x + \sigma A \bar{x} \notag \\ &= \sigma^2 x + \sigma A \bar{x} \notag \\ &= \sigma(A \bar{x} + \sigma x) \notag \\ &= \sigma y \notag \end{align}

したがって \(z = \dfrac{y}{\|y\|}\) は \(S\) に属する単位ベクトルであり、\(A \bar{z} = \sigma z, \ \sigma \geq 0, \ \sigma^2 = \lambda\) を満たす。

部分空間 \(S \subseteq \mathbb{C}^n\) が A-共不変 (A-coninvariant) であるとは、任意の \(x \in S\) に対して \(A \bar{x} \in S\) が成り立つことをいう。この概念は \(A\)-不変部分空間 (1.3.16) の自然な類似である。各 \(A \in M\_n\) に対して、常に 1 次元の \(A\)-不変部分空間 (固有ベクトルの張る空間) が存在する。先の補題によって、各 \(A \in M\_n\) に対して常に 1 次元または 2 次元の \(A\)-共不変部分空間が存在することが保証される。すなわち、\(A \bar{A}\) が非負の固有値をもつならば、(4.4.2a, b) で構成したベクトル \(z\) の張る 1 次元部分空間が存在し、そうでない場合には (4.4.2) で構成した部分空間 \(S\) が 2 次元の \(A\)-共不変部分空間となる。