[行列解析4.4.13]系

4.4.13

系 4.4.13.

\( A \in M_n \) とする。行列 \( A \overline{A} \) の非実固有値は共役な組で現れる。実数の負の固有値は等しい組で現れる。

証明. (4.4.10) と同様に \( A \) を因数分解する。\( A \overline{A} \) の固有値は

\overline{R} \oplus \overline{\Sigma}\Sigma

の固有値である。これらは、まず主対角成分の絶対値の二乗、さらに \(\overline{\Sigma}\Sigma\) の 2×2 対角ブロックの固有値から構成される。後者の固有値は、非実の場合は共役な組として、また実数で負の場合は等しい組として現れる。∎

前の系の主張はさらに強化できる。もし \(\lambda\) が \( A \overline{A} \) の実数の負の固有値であるなら、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、Jordan 標準形における \( J_k(\lambda) \) ブロックの数は偶数個存在する（(4.6.16) を参照）。

Youla の因数分解 (4.4.10) はユニタリ合同の文脈で有用であり、ちょうど Schur の因数分解 (2.3.1) がユニタリ相似の文脈で有用であるのと同様である。しかし、どちらの因数分解も対応する同値関係に対する標準形を与えるものではない。\( A \overline{A} \) の固有値は (4.4.10) の \( R \) の主対角成分を決定するが、非対角成分は決定しない。また、\(\Sigma\) の対角ブロックの固有値は決定するが、ブロックの具体的な形や非対角ブロックまでは決定しない。

次に、(4.4.10) がユニタリ合同の下で標準形を与える複素正方行列の集合を考察する。この集合に含まれる行列（複素対称行列、複素交代対称行列、ユニタリ行列、実正規行列を含む）については、\( A \overline{A} \) の固有値が、\( A \) のユニタリ合同に関する同値類を完全に決定する。