4.3.7
系 4.3.7 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が正の固有値をちょうど1つ、負の固有値をちょうど1つ持つとする。このとき次が成り立つ。
λ_1(A + B) ≤ λ_2(A)
λ_{i−1}(A) ≤ λ_i(A + B) ≤ λ_{i+1}(A), i = 2, …, n − 1
λ_{n−1}(A) ≤ λ_n(A + B)
等号が成り立つ場合は (4.3.3) と同様で、\(\pi = \nu = 1\) のときに対応する。例えば、\(\lambda_i(A + B) = λ_{i+1}(A)\) となるのは、\(n > 2\) かつ非ゼロベクトル \(x\) が存在して \(Ax = λ_{i+1}(A)x\)、\(Bx = 0\)、\((A + B)x = λ_i(A + B)x\) を満たす場合に限る。
(4.3.8) の各不等式は、次のいずれかの場合にはすべて厳密な不等式となる：
(a) n = 2、
または
(b) A の任意の固有ベクトル \(x\) に対して \(Bx = 0\)。
証明.
(4.3.4a,b) において \(\pi = \nu = 1\) とし、前の演習結果を用いる。
演習.
\(z \in \mathbb{C}^n\) が非ゼロで n ≥ 2 のとき、なぜ \(\lambda_{n−1}(zz^*) = 0 = \lambda_2(zz^*)\) が成り立つのか説明せよ。
次の系は、エルミート行列に対するランク1エルミート摂動の間隔定理（interlacing theorem）である。
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