[行列解析4.3.47]定理

4.3.47

定理 4.3.47.

\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。それぞれの固有値ベクトルを λ(A), λ(B), λ(A + B) とする。このとき以下が成り立つ：

(a) (Fan) \( \lambda(A)^\downarrow + \lambda(B)^\downarrow \) は \( \lambda(A + B) \) をメジャライズする。

(b) (Lidskii) \( \lambda(A + B) \) は \( \lambda(A)^\downarrow + \lambda(B)^\uparrow \) をメジャライズする。

証明.

(a) 任意の \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) に対して、(4.3.40) を用いると、\( A + B \) の k 個の最大固有値の和は次のように表せる：

\sum_{i=1}^k \lambda_i(A + B)^\downarrow = \max_{V \in M_{n,k}, V^*V = I_k} \operatorname{tr} V^*(A + B)V = \max_{V \in M_{n,k}, V^*V = I_k} (\operatorname{tr} V^*AV + \operatorname{tr} V^*BV) \leq \sum_{i=1}^k \lambda_i(A)^\downarrow + \sum_{i=1}^k \lambda_i(B)^\downarrow = \sum_{i=1}^k (\lambda_i(A)^\downarrow + \lambda_i(B)^\downarrow)

また、\(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B\) なので、\( k = n \) のとき等号が成り立つ。

(b) Lidskii の不等式は同値な形で書き直すと便利である。A を \( A' + B' \) に、B を \( -A' \) に置き換えると、次の等価な主張が得られる：

「\( \lambda(A + B) = \lambda(B') \) は \( \lambda(A)^\downarrow + \lambda(B)^\uparrow = \lambda(A' + B')^\downarrow + \lambda(-A')^\uparrow = \lambda(A' + B')^\downarrow - \lambda(A')^\downarrow \) をメジャライズする。」

したがって、任意のエルミート行列 \( A, B \in M_n \) に対して、\(\lambda(B)\) が \(\lambda(A + B)^\downarrow - \lambda(A)^\downarrow\) をメジャライズすることを示せば十分である。

\( k = n \) の場合は (a) と同様に、\(\operatorname{tr} B = \operatorname{tr}(A + B) - \operatorname{tr} A\) となる。任意の \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) について次を示す必要がある：

\sum_{i=1}^k (\lambda_i(A + B)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow \leq \sum_{i=1}^k \lambda_i(B)^\downarrow

ここで \(\lambda_k(B)^\downarrow = 0\) と仮定できる。そうでなければ、B を \( B - \lambda_k(B)^\downarrow I \) に置き換えることで両辺を kλ_k(B) 減少させる。B を正定値半正定値行列の差として表す：

B = B^+ - B^-

すると、各 \( i = 1, \ldots, k \) に対して \(\lambda_i(B)^\downarrow = \lambda_i(B^+)^\downarrow\) となり、

\sum_{i=1}^k \lambda_i(B)^\downarrow = \sum_{i=1}^k \lambda_i(B^+)^\downarrow = \sum_{i=1}^n \lambda_i(B^+) = \operatorname{tr} B^+

となる（i ≥ k に対して \(\lambda_i(B)^\downarrow \le 0\) であるため）。したがって、次を示す必要がある：

\sum_{i=1}^k (\lambda_i(A + B^+ - B^-)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow \le \operatorname{tr} B^+

ここで \(-B^-\) は正定値半正定値であるため、(4.3.12) により各 i = 1, ..., n に対して

\lambda_i(A + B^+ - B^-)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow \le \lambda_i(A + B^+) - \lambda_i(A)^\downarrow

さらに \(\lambda_i(A + B^+)^\downarrow \ge \lambda_i(A)^\downarrow\) である。したがって、

\sum_{i=1}^k (\lambda_i(A + B^+ - B^-)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow \le \sum_{i=1}^k (\lambda_i(A + B^+)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow \le \sum_{i=1}^n (\lambda_i(A + B^+)^\downarrow - \lambda_i(A)^\downarrow) = \operatorname{tr}(A + B^+) - \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B^+

演習.

前定理の仮定の下で、なぜ \( \lambda(A)^\uparrow + \lambda(B)^\uparrow \) が \( \lambda(A + B) \) をメジャライズし、なぜ \( \lambda(B) \) が \( \lambda(A + B)^\uparrow - \lambda(A)^\uparrow \) をメジャライズするのか説明せよ。

次に示す (4.3.45) の逆は、メジャライズがエルミート行列の対角成分と固有値との正確な関係であることを示している。