4.3.45
定理 4.3.45（Schur）.
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) をエルミート行列とする。その固有値のベクトル
\lambda(A) = [\lambda_i(A)]_{i=1}^n
は、主対角成分のベクトル
d(A) = [a_{ii}]_{i=1}^n
をメジャライズする。すなわち、
\sum_{i=1}^k \lambda_i(A)^\downarrow \geq \sum_{i=1}^k d_i(A)^\downarrow
\quad (4.3.46)
が \( k = 1, 2, \ldots, n \) の各場合について成り立ち、特に \( k = n \) のとき等号が成り立つ。もし \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) に対して不等式 (4.3.46) が等号となるならば、\( A \) はある \( B \in M_k \) を用いて \( B \oplus D \) に置換相似である。
証明.
\( P \in M_n \) を置換行列とし、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( PAPT \) の \( i,i \) 成分が \( d_i(A)^\downarrow \) であるようにする (0.9.5)。\( PAPT \) の固有値のベクトル（および \( A \) の固有値のベクトル）は \( \lambda(A) \) である。(4.3.29) のように \( PAPT \) を分割する。\( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とすると、(4.3.36) より
\lambda_1(A)^\downarrow + \cdots + \lambda_k(A)^\downarrow \geq d_1(A)^\downarrow + \cdots + d_k(A)^\downarrow
が成り立つ。また当然ながら
\lambda_n(A)^\downarrow + \cdots + \lambda_1(A)^\downarrow
= \operatorname{tr} A
= d_1(A)^\downarrow + \cdots + d_n(A)^\downarrow
である。もし \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) に対して (4.3.46) が等号となるならば、(4.3.34) より \( PAPT = B \oplus D \) となり、ここで \( B \in M_k \) である。
演習.
\( x, y \in \mathbb{R}^n \) とする。このとき、次が成り立つ理由を説明せよ：
(x^\downarrow + y^\downarrow)^\downarrow = x^\downarrow + y^\downarrow
演習.
\( x \in \mathbb{R}^n \) とする。このとき、次が成り立つ理由を説明せよ：
(-x)^\downarrow = -(x^\uparrow)
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