4.2.6
定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を代数的順序で \( \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \) とする。\( k \in \{1, \ldots, n\} \) とし、\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。このとき次が成立する。
\lambda_k \;=\; \min_{\{S:\,\dim S = k\}} \; \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \; \frac{x^* A x}{x^* x}
\lambda_k \;=\; \max_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \; \min_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \; \frac{x^* A x}{x^* x}
証明. \( x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{C}^n \) を正規直交系で、各 \( i = 1, \ldots, n \) について \( A x_i = \lambda_i x_i \) を満たすとする。任意の \( k \) 次元部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) を取り、さらに \( S' = \mathrm{span}\{x_k, \ldots, x_n\} \) とする。このとき
\dim S + \dim S' = k + (n-k+1) = n+1
だから、補題 (4.2.3) により \( \{x : 0 \neq x \in S \cap S'\} \) は空でない。補題 (4.2.4) と (4.2.2) を適用すると、次が得られる。
\sup_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
\;\;\geq\;\;
\sup_{\{x:\,0 \neq x \in S \cap S'\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
\;\;\geq\;\;
\inf_{\{x:\,0 \neq x \in S \cap S'\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
\;\;\geq\;\;
\inf_{\{x:\,0 \neq x \in S'\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \min_{\{x:\,0 \neq x \in S'\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \lambda_k
したがって
\inf_{\{S:\,\dim S = k\}} \;\sup_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^* x} \;\;\geq\; \lambda_k
しかし、\(\mathrm{span}\{x_1, \ldots, x_k\}\) には固有ベクトル \( x_k \) が含まれる。したがって、この部分空間を \( S \) と選べば、\( x_k^* A x_k / x_k^* x_k = \lambda_k \) である。ゆえに (4.2.9) は実際には等号成立であり、下限と上限は達成される。
\inf_{\{S:\,\dim S = k\}} \sup_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \min_{\{S:\,\dim S = k\}} \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \lambda_k
また、(4.2.7) および (4.2.5) を \(-A\) に適用することで (4.2.8) が導かれる。すなわち
-\lambda_k
= \min_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^*(-A)x}{x^*x} \\
= \min_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \left( - \frac{x^* A x}{x^*x} \right)
= \min_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \left( - \min_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^*x} \right) \\
= - \left( \max_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \min_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^* A x}{x^*x} \right)
となり、(4.2.8) が従う。
特に、(4.2.7) で \( k=n \) の場合、または (4.2.8) で \( k=1 \) の場合、外側の最適化は不要であり、このとき \( S = \mathbb{C}^n \) となる。これら二つの場合、主張は (4.2.2(c)) に帰着する。
一般に、エルミート行列 \( A \in M_n \) が与えられ、部分空間上でそのエルミート形式 \( x^* A x \) に上界・下界が与えられれば、その固有値について何らかの情報が得られる。
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