[行列解析4.2.4]補題

4.2.4

補題 4.2.4. 関数 \( f \) を集合 \( S \) 上の有界な実数値関数とする。ここで \( S_1, S_2 \) は集合であり、\( S_1 \) は空でなく、かつ \( S_1 \subset S_2 \subset S \) が成り立つとする。このとき次が成立する。

\sup_{x \in S_2} f(x) \;\geq\; \sup_{x \in S_1} f(x) \;\geq\; \inf_{x \in S_1} f(x) \;\geq\; \inf_{x \in S_2} f(x)

多くのエルミート行列 \( A \) に関する固有値不等式では、\( A \) の固有値の下界は、\(-A\) の固有値の上界を適用することで得られる。この点において、次の観察が有用である。