4.2.3
補題 4.2.3（部分空間の共通部分） \( S_1, \ldots, S_k \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし
\delta = \dim S_1 + \cdots + \dim S_k - (k - 1)n \geq 1
であるならば、互いに直交するベクトル \( x_1, \ldots, x_\delta \) が存在し、それぞれが全ての \( i = 1, \ldots, k \) に対して \( x_j \in S_i \) を満たす。特に、\( S_1 \cap \cdots \cap S_k \) には単位ベクトルが含まれる。
証明. （0.1.7）を参照せよ。集合 \( S_1 \cap \cdots \cap S_k \) は部分空間であり、上の不等式は
\dim (S_1 \cap \cdots \cap S_k) \geq \delta \geq 1
を保証する。よって、\( x_1, \ldots, x_\delta \) を \( S_1 \cap \cdots \cap S_k \) の正規直交基底から任意に選べばよい。
演習. 帰納法を用いて（0.1.7.3）を証明せよ。ただし（0.1.7.2）から始めること。
演習. \( S_1, S_2, S_3 \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし
\dim S_1 + \dim S_2 \geq n + 1
であるならば、\( S_1 \cap S_2 \) は単位ベクトルを含むことを説明せよ。さらに、
\dim S_1 + \dim S_2 + \dim S_3 \geq 2n + 2
であるならば、\( S_1 \cap S_2 \cap S_3 \) の中に互いに直交する2つの単位ベクトル \( x, y \) が存在すること、すなわち \( x^* y = 0 \) が成り立つことを説明せよ。
変分的な特徴づけから得られる不等式は、多くの場合、次の単純な観察によるものである。すなわち、適当な実数値関数 \( f \) と非空集合 \( S \) に対して、
\sup \{ f(x) : x \in S \}
は、集合 \( S \) をより大きな集合 \( S' \supset S \) に置き換えても減少せず、また
\inf \{ f(x) : x \in S \}
は増加しないという事実である。
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