4.1.問題13
4.1.P13
\(A \in M_n\) が非零であるとする。
(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等号成立はある非零 \(a \in \mathbb{C}\) とエルミート射影 \(H\) が存在して \(A = aH\) のときに限ることを示せ。
(b) A が正規行列ならば、\(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}\) であることを説明せよ。
したがって、\(A\) がエルミートの場合には \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^2}\) が成り立つ。
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