[行列解析4.1.1]定義（エルミート行列）

4.1.1
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4.1.1

定義 4.1.1. 行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n\) は、\(A = A^*\) であればエルミート行列（Hermitian）と呼び、\(A = -A^*\) であれば歪エルミート行列（skew Hermitian）と呼ぶ。

\begin{align}A &= \frac{1}{2}(A + A^*) + \frac{1}{2}(A - A^*) \notag \\ &= H(A) + S(A) \notag \\ &= H(A) + i K(A) \notag \end{align}

行列 \(A, B \in M_n\) に関するいくつかの性質：

1. \(A + A^*\)、\(AA^*\)、および \(A^*A\) はエルミート行列である。
2. \(A\) がエルミートであれば、全ての \(k = 1, 2, 3, \dots\) に対して \(A^k\) もエルミートである。また、\(A\) が正則であれば、\(A^{-1}\) もエルミートである。
3. \(A\) と \(B\) がエルミートであれば、任意の実数 \(a, b\) に対して \(aA + bB\) もエルミートである。
4. \(A - A^*\) は歪エルミートである。
5. \(A\) と \(B\) が歪エルミートであれば、任意の実数 \(a, b\) に対して \(aA + bB\) も歪エルミートである。
6. \(A\) がエルミートであれば、\(iA\) は歪エルミートである。
7. \(A\) が歪エルミートであれば、\(iA\) はエルミートである。
8. 次の分解が成り立つ：\( A = \frac{1}{2}(A + A^*) + \frac{1}{2}(A - A^*) = H(A) + S(A) = H(A) + i K(A) \),ここで、\(H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*)\) は \(A\) のエルミート成分、\(S(A) = \frac{1}{2}(A - A^*)\) は歪エルミート成分、\(K(A) = \frac{1}{2i}(A - A^*)\) である。
9. \(A\) がエルミートであれば、主対角成分はすべて実数である。\(A\) の \(n^2\) 個の要素を指定するには、主対角成分に任意の \(n\) 個の実数を選び、非対角成分には任意の \(\frac{1}{2} n(n-1)\) 個の複素数を選べばよい。
10. \(A = C + i D\) と書き、\(C, D \in M_n(\mathbb{R})\) とすると（\(A\) の実部と虚部）、\(A\) はエルミートであることと、\(C\) が対称で \(D\) が歪対称であることは同値である。
11. 実対称行列は複素エルミート行列である。