3.5.2
補題 3.5.2.
\( A \in M_n \) とし、\( A = LU \) がLU分解であると仮定する。任意の2×2ブロック分割
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix},\quad
L =
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 \\
L_{21} & L_{22}
\end{bmatrix},\quad
U =
\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} \\
0 & U_{22}
\end{bmatrix}
ただし \( A_{11}, L_{11}, U_{11} \in M_k \)、かつ \( k \leq n \) とする。このとき \( A_{11} = L_{11}U_{11} \) が成り立つ。したがって、\( A \) の各順序主小行列はLU分解を持ち、その因子はそれぞれ \( L \) と \( U \) の対応する順序主小行列である。
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