3.5 三角因子分解と標準形
線形方程式系 \(Ax=b\) において、係数行列 \(A \in M_n\) が非特異な三角行列（0.9.3）であるならば、一意解 \(x\) の計算は非常に容易である。例えば、\(A=[a_{ij}]\) が上三角かつ非特異である場合、すべての対角要素 \(a_{ii}\neq 0\) なので、後退代入を用いることができる。すなわち、まず
a_{nn} x_n = b_n
から \(x_n\) が決定される。その後、次の式
a_{n-1,n-1} x_{n-1} + a_{n-1,n} x_n = b_{n-1}
によって \(x_n\) が既知であり、かつ \(a_{n-1,n-1}\neq 0\) なので \(x_{n-1}\) が決定される。この方法を繰り返し、行列 \(A\) の行を上に進みながら \(x_{n-2}, x_{n-3}, \ldots, x_2, x_1\) を順に決定していく。
演習問題. 係数行列 \(A \in M_n\) が非特異な下三角行列であるとき、前進代入を用いた \(Ax=b\) の解法を説明せよ。
もし \(A \in M_n\) が三角行列でなくても、\(A\) が非特異であり、さらに \(A=LU\) と因数分解できるならば（ここで \(L\) は下三角行列、\(U\) は上三角行列）、前進代入と後退代入を組み合わせて \(Ax=b\) を解くことができる。すなわち、まず
Ly = b
を前進代入で解き、次に
Ux = y
を後退代入で解くことで \(x\) を得る。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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