[行列解析3.4.P1]

3.4.問題1

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) で \(A^2=-I_n\) を満たすと仮定する。このとき、\(n\) は偶数であり、可逆行列 \(S \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して

S^{-1}AS = \begin{bmatrix} 0 & -I_{n/2} \\[4pt] I_{n/2} & 0 \end{bmatrix}

が成り立つことを示せ。

以下の3問では、与えられた \(A \in M_n\) に対して、中心化代数 \(C(A)=\{B \in M_n : AB=BA\}\) を考える。これは \(A\) と可換な行列全体の集合である。