3.2問題30
3.2.P30
\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。次の証明の概要に詳細を補い、\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S \) が \( B \) の零空間であることが同値であることを示せ。Only if: \( B(AS) = A(BS) = A\{0\} = \{0\} \) より \( AS \subset S \)。If: (a) \( S = \{0\} \) または \(\mathbb{C}^n\) ならば、\( B = I \) または \( B = 0 \) とすればよい。したがって \( 1 \leq \dim S \leq n-1 \) と仮定できる。(b) \( A \) に相似な行列に対して示せば十分である（理由を示せ）、したがって
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}, \quad A_{11} \in M_k
と仮定できる (1.3.17(c) を参照)。非特異行列 \( X \in M_n \) が存在して \( AX = XA^T \) が成り立つ (3.2.3.1 を参照)。(d) 非特異行列 \( Y \in M_{n-k} \) が存在して \( YA_{22} = A_{22}^T Y \) が成り立つ。ここで \( C = 0_k \oplus Y \) とおく。(e) このとき \( CA = A^T C \)。(f) \( B = XC \) とすると、\( AB = AXC = XA^T C = XCA = BA \) が成り立つ。
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