3.2問題18
3.2.P18
\(A\in M_n\) とする。3.2.7 で述べたジョルダン分解 \(A=A_D+A_N\)（\(A_D\) は対角化可能成分、\(A_N\) は冪零成分、かつ互いに可換）は一意であることを示せ。すなわち、もし (a) \(A=B+C\)、(b) \(B\) と \(C\) が可換、(c) \(B\) は対角化可能、(d) \(C\) は冪零、を満たすならば \(B=A_D\) かつ \(C=A_N\) であることを示せ。ヒント：\(A_D=p(A),\;A_N=q(A)\) となる多項式 \(p,q\) が存在することを利用せよ。次の点の詳細を示せ： (a) \(B,C\) は \(A\) と可換する；(b) \(B,C\) は \(A_D,A_N\) と可換する；(c) \(B\) と \(A_D\) は同時対角化可能で、ゆえに \(A_D-B\) は対角化可能；(d) \(C\) と \(A_N\) は同時上三角化可能で、ゆえに \(C-A_N\) は冪零；(e) \(A_D-B=C-A_N\) は同時に対角化可能かつ冪零なので零行列である。
コメント