3.2.11.1
定理 3.2.11.1. \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) とする。
AB の各非零固有値 \( \lambda \) および各 \( k = 1,2,\dots \) に対して、AB と BA のそれぞれのジョルダン標準形は同じ数のジョルダンブロック \( J_k(\lambda) \) を含む。
証明.
(1.3.22) の証明において、次の行列が相似であることを示した：
C_1 = \begin{pmatrix} AB & B \\ 0 & 0_n \end{pmatrix}, \quad \\
C_2 = \begin{pmatrix} 0_m & B \\ 0 & BA \end{pmatrix}
\( \lambda \neq 0 \) を与え、任意の正の整数 \( k \) を取る。
まず、次の行列の行ランクを考える：
(C_1 - \lambda I_{m+n})^k \\
= \begin{pmatrix} (AB - \lambda I_m)^k & 0 \\ 0 & (-\lambda I_n)^k \end{pmatrix}
これは \( n + \text{rank}((AB - \lambda I_m)^k) \) である。
また、次の列ランクを考える：
(C_2 - \lambda I_{m+n})^k \\
= \begin{pmatrix} (-\lambda I_m)^k & 0 \\ 0 & (BA - \lambda I_n)^k \end{pmatrix}
これは \( m + \text{rank}((BA - \lambda I_n)^k) \) である。
しかし \((C_1 - \lambda I_{m+n})^k\) は \((C_2 - \lambda I_{m+n})^k\) と相似であるため、ランクは等しくなる。
したがって次が成り立つ：
\text{rank}((AB - \lambda I_m)^k) \\
= \text{rank}((BA - \lambda I_n)^k) + m - n, \\
\quad k = 1,2,\dots
これにより次の式が得られる：
\text{rank}((AB - \lambda I_m)^{k-1}) - \text{rank}((AB - \lambda I_m)^k) \\
=
\text{rank}((BA - \lambda I_n)^{k-1}) - \text{rank}((BA - \lambda I_n)^k), \\
\quad k = 1,2,\dots
したがって、AB と BA に対応する任意の非零固有値 λ に関する Weyr 特性は同一であり、(3.1.18) により、それぞれのジョルダン標準形は各 k に対して正確に同じ数のブロック \( J_k(\lambda) \) を含むことが保証される。
コメント