[行列解析3.1.P24]0-1ブロック行列の冪と相似性

3.1.P24

3.1問題24

次の 4×4 行列を考える：

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2, \; B = [B_{ij}]_{i,j=1}^2 \) とし、

A_{11} = A_{22} = B_{11} = B_{22} = J_2(0), \\ \quad A_{21} = B_{21} = 0_2,

A_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

(a) 任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、\( A^k \) と \( B^k \) は 0-1 行列（各要素が 0 または 1）であり、1 の要素数が同じであることを示せ。

(b) \( A \) と \( B \) が冪零かつ相似である理由を説明せよ。そのジョルダン標準形は何か。

(c) 2つの置換相似な 0-1 行列が、同じ数の 1 の要素を持つ理由を説明せよ。

(d) \( A \) と \( B \) が置換相似でないことを示せ。

行列は 2×2 ブロック上三角形であり、対角ブロックは \( J_2(0) \) であることに注目する。まず冪零性を確認し、ジョルダン標準形を求める。

(d) ではグラフ構造や 1 の配置のパターンに注目する。

行列 \( A,B \) はともに 2×2 ブロック上三角行列であり、対角ブロックは \( J_2(0)=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \) であり、下三角ブロックは 0 である。

(a) 上三角ブロック構造より、任意の \( k \ge 1 \) に対して

A^k = \begin{bmatrix} J_2(0)^k & * \\ 0 & J_2(0)^k \end{bmatrix}, \qquad B^k = \begin{bmatrix} J_2(0)^k & * \\ 0 & J_2(0)^k \end{bmatrix}

となる。ここで \( J_2(0)^2=0 \) であるから、\( k \ge 2 \) では対角ブロックは 0 となる。

(b) 各対角ブロックが冪零であり、全体も上三角であるから、ある \( m \) に対して \( A^m=0 \)、\( B^m=0 \) となる。実際、4 次冪で 0 になる。

したがって両者は冪零行列である。

計算により、各べき乗における非ゼロ要素の個数を比較する。 \(k=1\) において、\(A, B\) ともに「1」の個数は 6 個である。 \(k=2\) においては、\(A^2\) と \(B^2\) は以下のようになる：

A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

\(A^3\) と \(B^3\) は以下のようになる：

A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

B^3 = B \cdot B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

成分に 2 が現れるため、厳密な意味での 0-1 行列（成分が 0 または 1 のみ）という主張は、特定の体（\(\mathbb{Z}*2\) など）あるいは定義に依存するが、非ゼロ成分の配置と個数の対称性は維持されている。

相似性を確認するためランクを計算すると、両行列ともに以下のようになる：

\( \text{rank}(A^0)=4, \text{rank}(A^1)=3, \text{rank}(A^2)=2, \text{rank}(A^3)=1, \text{rank}(A^4)=0 \)

ランクが毎ステップ 1 ずつ減少することから、ジョルダン標準形はサイズ 4 の単一のブロック \(J_4(0)\) である。よって、両者は相似である。ジョルダン標準形は

J_4(0)

である。

(c) 置換相似とは、置換行列 \( P \) による相似変換 \( P^{-1}AP \) である。これは行と列を同時に並べ替える操作であり、行列中の 1 の総数は変わらない。

したがって置換相似な 0-1 行列は同じ数の 1 をもつ。

(d) \( A \) と \( B \) は 1 の配置のパターンが異なる。

置換相似であれば、各行の和を並べた集合（マルチセット）は一致しなければならない。

\(A\) の行和：\( {2, 2, 1, 0} \)

\(B\) の行和：\( {3, 1, 1, 0} \)

\(B\) には 1 を 3 個含む行が存在するが、\(A\) には存在しない。したがって、\(A\) と \(B\) は置換相似ではない。