[行列解析3.1.4]補題

3.1.4補題

補題 3.1.4.

\(k \geq 2\) とする。\(e_i \in \mathbb{C}^k\) を \(i\) 番目の標準基底ベクトルとし、\(x \in \mathbb{C}^k\) とする。このとき次が成り立つ。

J_k(0)^T J_k(0) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{k-1} \end{bmatrix}

また、\(p \geq k\) のとき \(J_k(0)^p = 0\) である。

さらに、\(i = 1, 2, \ldots, k-1\) に対して \(J_k(0)e_{i+1} = e_i\) が成り立ち、次が成立する。

\left(I_k - J_k(0)^T J_k(0)\right)x = (x^T e_1)e_1

これでステップ3における課題に取り組む準備が整った。