0.9.9 ヘッセンベルク行列
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n(F) \) が、すべての \( i > j + 1 \) に対して \( a_{ij} = 0 \) を満たすとき、上ヘッセンベルク形あるいは上ヘッセンベルク行列であると言います。
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & * & * & \cdots & * \\
a_{21} & a_{22} & * & \cdots & * \\
0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & * \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{bmatrix}
上ヘッセンベルク行列 \( A \) が縮退していない（unreduced）とは、すべての下対角成分（すなわち \( a_{i+1,i} \)）が 0 でないこと、つまりすべての \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して \( a_{i+1,i} \ne 0 \) が成り立つことを意味します。
このような行列の階数（rank）は少なくとも \( n - 1 \) あります。なぜなら、最初の \( n - 1 \) 列は一次独立であるからです。
\( A \in M_n(F) \) が縮退していない上ヘッセンベルク行列であるとします。このとき、任意の \( \lambda \in F \) に対して \( A - \lambda I \) もまた縮退していない上ヘッセンベルク行列です。したがって、
\mathrm{rank}(A - \lambda I) \geq n - 1
任意の \( \lambda \in F \) に対して、上の不等式が成立します。
また、行列 \( A \in M_n(F) \) が下ヘッセンベルク行列（lower Hessenberg）であるとは、その転置 \( A^T \) が上ヘッセンベルク行列であることを意味します。
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