0.9.7 テプリッツ行列（Toeplitz matrices）
\( A = [a_{ij}] \in M_{n+1}(F) \) が次のような形をしているとき、行列 \( A \) はテプリッツ行列と呼ばれます。
A =
\begin{bmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & \cdots & a_n \\
a_{-1} & a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\
a_{-2} & a_{-1} & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a_{-n} & a_{-n+1} & \cdots & \cdots & a_{-1} & a_0
\end{bmatrix}
要素 \( a_{ij} \) は、ある定められた数列 \( a_{-n}, a_{-n+1}, \dots, a_{-1}, a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{C} \) における \( a_{j-i} \) に等しくなります。テプリッツ行列では、主対角線に平行なすべての対角線上で値が一定です。
次のようなテプリッツ行列
B =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}\\,\quad\\
F =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
は、それぞれ後退シフト行列（backward shift）および前進シフト行列（forward shift）と呼ばれ、標準基底 \(\{e_1, \dots, e_{n+1}\}\) に対する作用に由来します。また、これらには関係 \( F = B^T \)、\( B = F^T \) があります。
任意の行列 \( A \in M_{n+1} \) は、次の形で表現できるとき、テプリッツ行列です。
A = \sum_{k=1}^{n} a_{-k} F^k + \sum_{k=0}^{n} a_k B^k
テプリッツ行列は、三角関数モーメントに関連する問題に自然に現れます。
適切なサイズの反転行列 \( K \)（前節 0.9.5.1 を参照）を用いると、前進シフト行列と後退シフト行列の関係として次が成り立ちます：\( F = KBK = B^T \)、および \( B = KFK = F^T \)。この表現により、任意のテプリッツ行列 \( A \) に対して
A^T = KAK = KA K^{-1}
が成立します。
上三角テプリッツ行列
上三角のテプリッツ行列 \( A \in M_{n+1}(F) \) は、後退シフト行列 \( B \) の多項式として次のように表現できます：
A = a_0 I + a_1 B + \cdots + a_n B^n
この表現と \( B^{n+1} = 0 \) という事実から、サイズ \( n \) の上三角テプリッツ行列が可換代数を構成する理由が明らかになります。すなわち、上三角テプリッツ行列の線形結合や積もまた上三角テプリッツ行列です。
また、\( a_0 \neq 0 \) のとき、\( A \) は正則であり、その逆行列 \( A^{-1} \) も上三角テプリッツ行列になります。具体的には、
A^{-1} = b_0 I + b_1 B + \cdots + b_n B^n
であり、係数は次のように再帰的に求まります：
b_0 = a_0^{-1}, \quad \\
b_k = a_0^{-1} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k-m} b_m \quad (k = 1, \dots, n)
したがって、同じサイズの任意の2つの上三角テプリッツ行列は可換です。
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