0.8.9 ラプラス展開定理（Laplace expansion theorem）
ラプラス展開（0.3.1.1）とは、ある行または列に沿った小行列式による行列式の展開のことですが、これは行列式を表す自然な一連の式の中に含まれます。
行列 \( A \in \mathbb{M}_n(F) \) を考え、\( k \in \{1, \ldots, n\} \) を固定し、濃度 \( k \) の任意の添字集合 \( \beta \subseteq \{1, \ldots, n\} \) を取ります。このとき、行列式は次のように表されます：
\det A = \sum_{\alpha} (-1)^{p(\alpha, \beta)} \det A[\alpha, \beta] \cdot \det A[\alpha^c, \beta^c]
\\= \sum_{\alpha} (-1)^{p(\alpha, \beta)} \det A[\beta, \alpha] \cdot \det A[\beta^c, \alpha^c]
ここで、総和はすべての濃度 \( k \) の添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, n\} \) にわたって取ります。また、符号の指数として使われる \( p(\alpha, \beta) \) は以下で定義されます：
p(\alpha, \beta) = \sum_{i \in \alpha} i + \sum_{j \in \beta} j
この一般式において、たとえば \( k = 1 \)、\( \beta = \{i\} \) または \( \{j\} \) を選ぶと、(0.3.1.1) に示された行または列に沿った基本的なラプラス展開が得られます。
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