0.8.10 行列式の微分
行列 \( A(t) = [a_1(t)\ \ldots\ a_n(t)] = [a_{ij}(t)] \) を、成分が \( t \) に関して微分可能な複素数値関数で構成される \( n \times n \) 行列とします。ここで、\( A'(t) = [a'_{ij}(t)] \) と定義します。
行列式の多重線形性（0.3.6(a)）と導関数の定義より、次の関係式が成り立ちます。
\frac{d}{dt} \det A(t) = \sum_{j=1}^{n} \det(A(t) \leftarrow_j a_j'(t))
ここで、\( A(t) \leftarrow_j a_j'(t) \) は、\( A(t) \) の第 \( j \) 列を \( a_j'(t) \) に置き換えた行列を意味します。
さらに、余因子行列（adjugate matrix）を用いると、次のようにも表せます。
\frac{d}{dt} \det A(t) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} ((\operatorname{adj} A(t))^T)_{ij} \, a'_{ij}(t)
これはさらに、行列のトレース（跡）を用いて次のように簡潔に書けます：
\frac{d}{dt} \det A(t) = \operatorname{tr}((\operatorname{adj} A(t)) \cdot A'(t))
この式は 式 (0.8.10.1) として知られています。
たとえば、定数行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して \( A(t) = tI - A \) とおくと、\( A'(t) = I \) なので、次のようになります。
\frac{d}{dt} \det(tI - A) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A))
これは 式 (0.8.10.2) に対応します。
コメント