[行列解析0.4.2]ランクと線形方程式系

0.4.2 ランクと線形方程式系

行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) とベクトル \( b \in F^n \) が与えられたとき、線形方程式系 \( Ax = b \) は解なし、ただ一つの解、または無限に多くの解を持ちます。この3通りのみが可能です。少なくとも1つ解があればその系は整合的（consistent）であり、解がなければ非整合的（inconsistent）です。線形系 \( Ax = b \) が整合的であることは、

\operatorname{rank} [A \ b] = \operatorname{rank} A

であることと同値です。ここで、行列 \( [A \ b] \in M_{m, n+1}(F) \) は拡大係数行列と呼ばれます。拡大係数行列と係数行列 \( A \) が同じランクを持つとは、\( b \) が \( A \) の列の線形結合で表せることを意味します。この場合、\( b \) を列として追加してもランクは増加しません。線形系の解は、\( b \) を \( A \) の列の線形結合として表したときの係数ベクトル \( x \) です。