0.3.4 簡約階段行列（Reduced Row Echelon Form）
任意の行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{m,n}(F) \) に対して、簡約階段行列（Reduced Row Echelon Form, RREF）、別名 Hermite標準形 に属する（唯一の）標準形が対応します。
ある行が 0 でないとき、その行の 先頭成分 とは、その行で最初に現れる 0 でない要素のことです。RREF を定義する条件は以下の通りです：
- (a) すべてのゼロ行（すべての成分が 0 の行）は行列の下部に並ぶ。
- (b) 0 でない各行の先頭成分は 1 である。
- (c) 先頭成分が属する列の他のすべての要素は 0 である。
- (d) 先頭成分は左から右へ階段状に並ぶ。すなわち、非ゼロ行 \( i \) の先頭成分を \( a_{ik} \) としたとき、次のいずれかが成り立つ：
- \( i = m \)
- 行 \( i+1 \) はゼロ行である
- 行 \( i+1 \) の先頭成分は列 \( \ell \) にあり、\( \ell > k \)
例えば、以下の行列は RREF になっています：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0.1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \pi \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
行列 \( R \in M_{m,n}(F) \) が \( A \) の RREF であるとき、\( R = EA \) が成り立ちます。ここで \( E \in M_m(F) \) は正則行列であり、RREF を得るために \( A \) に施された基本行操作（タイプ1, 2, 3）に対応する初等行列の積です。
行列 \( A \in M_n(F) \) に対して、RREF が単位行列 \( I_n \) の場合に限り、行列式 \( \det A \ne 0 \) です。したがって、RREF への変形過程での各基本操作による行列式への影響を記録することで、\( \det A \) を計算できます。
線形方程式系とRREF
線形方程式系 \( Ax = b \) において、\( A \in M_{m,n}(F) \)、\( b \in F^m \) が与えられ、未知数 \( x \in F^n \) を求めるとします。このとき、\( A \) と \( b \) の両方に同じ基本行操作の列を施しても、解集合は変わりません。
連立方程式の解は、拡大係数行列 \( [A\ b] \) の RREF を観察することで得られます。RREF は一意に定まるため、2つの連立方程式系 \( A_1x = b_1 \) および \( A_2x = b_2 \) が同じ解集合を持つのは、対応する拡大係数行列 \( [A_1\ b_1] \) と \( [A_2\ b_2] \) の RREF が一致する場合に限られます。
コメント