[行列解析0.3.1]小行列式によるラプラス展開

0.3.1 小行列式によるラプラス展開（行または列に沿って）

行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n(F) \) に対して、行列式は次のように帰納的に定義することができます。

まず、\( M_{n-1}(F) \) 上で行列式が定義されていると仮定し、\( A_{ij} \in M_{n-1}(F) \) を、\( A \in M_n(F) \) のうち第 \( i \) 行および第 \( j \) 列を削除して得られる部分行列とします。

このとき、任意の \( i, j \in \{1, \dots, n\} \) に対して次が成り立ちます：

(0.3.1.1)

\det A = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} a_{ik} \det A_{ik} \\ = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+j} a_{kj} \det A_{kj}

最初の総和は第 \( i \) 行に沿った小行列式によるラプラス展開、2つ目の総和は第 \( j \) 列に沿った展開です。

この定義は、1×1 行列の行列式をその唯一の成分と定めることから始まります：

\det [a_{11}] = a_{11}

2×2 行列の場合：

\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

3×3 行列の場合：

\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}

さらに、次の性質があります：