0.2.2 線形変換
体 \( \mathbb{F} \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間 \( U \) と \( m \) 次元ベクトル空間 \( V \) を考え、基底 \( B_U \) および \( B_V \) をそれぞれの空間に指定します。ベクトル \( x \in U \) および \( y \in V \) をそれぞれ \( n \) 次元ベクトル、\( m \) 次元ベクトルとして表すために、次の同型写像を用います：
x \mapsto [x]_{B_U},\quad y \mapsto [y]_{B_V}
線形変換とは、関数 \( T : U \to V \) であって、任意のスカラー \( a_1, a_2 \) とベクトル \( x_1, x_2 \in U \) に対して：
T(a_1 x_1 + a_2 x_2) = a_1 T(x_1) + a_2 T(x_2)
を満たすものです。行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{F}) \) は、線形変換 \( T : U \to V \) に対応し、次を満たします：
[y]_{B_V} = A [x]_{B_U} \iff y = T(x)
このとき、行列 \( A \) は基底 \( B_U \) と \( B_V \) に関して変換 \( T \) を表現していると言います。
通常、行列 \( A \) を扱うとき、ある基底のもとでの線形変換を研究していることになりますが、明示的に基底に言及する必要はあまりありません。
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