[行列解析0.10]基底の変換

0.10 基底の変換
- 恒等変換と基底変換行列
- 線形変換の基底変換公式

0.10 基底の変換

ベクトル空間 \( V \) を体 \( F \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間とします。そして、リスト \( B_1 = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) が \( V \) の基底であるとします。

任意のベクトル \( x \in V \) は、\( B_1 \) が \( V \) を張ることから、

と一意的に表現できます。もし同じ基底に対して別の表現

があるとすると、

となります。\( B_1 \) は線形独立なので、各係数 \( \alpha_i - \beta_i = 0 \) でなければなりません。つまり、係数は一意に定まります。

基底 \( B_1 \) が与えられると、線形写像

が定義されます。このベクトルは \( x \) の \( B_1 \) による座標表示です。

次に線形変換 \( T : V \to V \) を考えます。任意の \( x \in V \) に対して、その表現が \( x = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n \) であるとき、線形性から

が成り立つので、\( T x \) は \( T v_1, \ldots, T v_n \) によって完全に決定されます。

別の基底 \( B_2 = \{w_1, w_2, \ldots, w_n\} \) を取ります。各 \( T v_j \) の \( B_2 \)-座標表示が

であるとすると、任意の \( x \in V \) に対して次が成り立ちます：

この \( n \times n \) 行列 \( [t_{ij}] \) を 基底 \( B_1 \) から \( B_2 \) による T の表現 と定義します：

したがって、任意の \( x \in V \) に対して次が成り立ちます：

特に \( B_2 = B_1 \) の場合、これは基底 \( B_1 \) における \( T \) の表現です。

恒等変換と基底変換行列

任意の \( x \in V \) に対して、

また、同様にして次が得られます：

よって、\( {}_{B_2}[I]_{B_1} \) は可逆であり、その逆行列は \( {}_{B_1}[I]_{B_2} \) です。

逆に、任意の可逆行列 \( S = [s_1 \, s_2 \, \ldots \, s_n] \in M_n(F) \) は、ある基底 \( B \) に対する \( {}_{B_1}[I]_B \) の形になります。具体的には、ベクトル \( \tilde{s}_i \) を \( [\tilde{s}_i]_{B_1} = s_i \) によって定めると、\( B = \{\tilde{s}_1, \ldots, \tilde{s}_n\} \) は基底になります。

また、

となるので、この行列は基底 \( B_1 \) の各ベクトルを \( B_2 \) で表現したものです。