0.1.8 同型写像（Isomorphism）
\( U \) および \( V \) が同じスカラー体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間であり、関数 \( f : U \to V \) が次の性質を持つとします：
- \( f \) は可逆（逆関数 \( f^{-1} \) を持つ）であり、
- 任意の \( x, y \in U \) および \( a, b \in \mathbb{F} \) に対して、次の線形性を満たす：
f(ax + by) = a f(x) + b f(y)
このとき、\( f \) を 同型写像（isomorphism） と呼び、\( U \) と \( V \) は同型（isomorphic）、つまり「同じ構造を持つ」と言います。
同じ体 \( \mathbb{F} \) 上の有限次元ベクトル空間 \( U \) と \( V \) が同型であるのは、それらの次元が等しいとき、かつそのときに限ります。したがって、任意の \( n \) 次元ベクトル空間は \( \mathbb{F}^n \) と同型です。
特に、任意の \( n \) 次元実ベクトル空間は \( \mathbb{R}^n \) と同型であり、任意の \( n \) 次元複素ベクトル空間は \( \mathbb{C}^n \) と同型です。
より具体的に、\( V \) が体 \( \mathbb{F} \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間であり、基底 \( B = \{x_1, \ldots, x_n\} \) が与えられているとします。このとき、任意のベクトル \( x \in V \) はただ1通りに次のように表されます：
x = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n,\quad a_i \in \mathbb{F}
この表現により、ベクトル \( x \) を座標ベクトル：
[x]_B = \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}
で表すことができます。したがって、任意の基底 \( B \) に対して、写像
x \mapsto [x]_B
は、\( V \) と \( \mathbb{F}^n \) の間の同型写像になります。
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