[行列解析]

2025.08.05
  • 0 復習および雑記 (Review and Miscellanea)
    • 0.0 はじめに (Introduction)
    • 0.1 ベクトル空間 (Vector spaces)
    • 0.2 行列 (Matrices)
    • 0.3 行列式 (Determinants)
    • 0.4 ランク (Rank)
    • 0.5 非特異性 (Nonsingularity)
    • 0.6 ユークリッド内積とノルム (The Euclidean inner product and norm)
    • 0.7 部分集合と行列 (Partitioned sets and matrices)
    • 0.8 再び行列式 (Determinants again)
    • 0.9 特殊な種類の行列 (Special types of matrices)
    • 0.10 基底の変換 (Change of basis)
    • 0.11 同値関係 (Equivalence relations)
  • 1 固有値、固有ベクトル、および相似性 (Eigenvalues, Eigenvectors, and Similarity)
    • 1.0 はじめに (Introduction)
    • 1.1 固有値–固有ベクトル方程式 (The eigenvalue–eigenvector equation)
    • 1.2 特性多項式と代数的重複度 (The characteristic polynomial and algebraic multiplicity)
    • 1.3 相似性 (Similarity)
    • 1.4 左右の固有ベクトルと幾何学的重複度 (Left and right eigenvectors and geometric multiplicity)
  • 2 ユニタリ相似性とユニタリ同値性 (Unitary Similarity and Unitary Equivalence)
    • 2.0 はじめに (Introduction)
    • 2.1 ユニタリ行列とQR分解 (Unitary matrices and the QR factorization)
    • 2.2 ユニタリ相似性 (Unitary similarity)
    • 2.3 ユニタリおよび実直交三角分解 (Unitary and real orthogonal triangularizations)
    • 2.4 シュールの三角化定理の結果 (Consequences of Schur’s triangularization theorem)
    • 2.5 正規行列 (Normal matrices)
    • 2.6 ユニタリ同値性と特異値分解 (Unitary equivalence and the singular value decomposition)
    • 2.7 CS分解 (The CS decomposition)
  • 3 相似性のための標準形および三角分解 (Canonical Forms for Similarity and Triangular Factorizations)
    • 3.0 はじめに (Introduction)
    • 3.1 ジョルダン標準形定理 (The Jordan canonical form theorem)
    • 3.2 ジョルダン標準形の結果 (Consequences of the Jordan canonical form)
    • 3.3 最小多項式と伴随行列 (The minimal polynomial and the companion matrix)
    • 3.4 実ジョルダンおよびヴェイア標準形 (The real Jordan and Weyr canonical forms)
    • 3.5 三角分解と標準形 (Triangular factorizations and canonical forms)
  • 4 エルミート行列、対称行列、および合同変換 (Hermitian Matrices, Symmetric Matrices, and Congruences)
    • 4.0 はじめに (Introduction)
    • 4.1 エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)
    • 4.2 変分的特徴づけと部分空間の交差 (Variational characterizations and subspace intersections)
    • 4.3 エルミート行列の固有値不等式 (Eigenvalue inequalities for Hermitian matrices)
    • 4.4 ユニタリ合同変換と複素対称行列 (Unitary congruence and complex symmetric matrices)
    • 4.5 合同変換と対角化 (Congruences and diagonalizations)
    • 4.6 同相性と条件対角化 (Consimilarity and condiagonalization)
  • 5 ベクトルと行列のノルム (Norms for Vectors and Matrices)
    • 5.0 はじめに (Introduction)
    • 5.1 ノルムおよび内積の定義 (Definitions of norms and inner products)
    • 5.2 ノルムおよび内積の例 (Examples of norms and inner products)
    • 5.3 ノルムの代数的性質 (Algebraic properties of norms)
    • 5.4 ノルムの解析的性質 (Analytic properties of norms)
    • 5.5 ノルムの双対性および幾何学的性質 (Duality and geometric properties of norms)
    • 5.6 行列ノルム (Matrix norms)
    • 5.7 行列上のベクトルノルム (Vector norms on matrices)
    • 5.8 条件数：逆行列および線形システム (Condition numbers: inverses and linear systems)
  • 6 固有値の位置と摂動 (Location and Perturbation of Eigenvalues)
    • 6.0 はじめに (Introduction)
    • 6.1 ゲルスゴリン円盤 (Gersgorin discs)
    • 6.2 ゲルスゴリン円盤 – 詳細な解析 (Gersgorin discs – a closer look)
    • 6.3 固有値摂動定理 (Eigenvalue perturbation theorems)
    • 6.4 その他の固有値包含集合 (Other eigenvalue inclusion sets)
  • 7 正定値および半正定値行列 (Positive Definite and Semidefinite Matrices)
    • 7.0 はじめに (Introduction)
    • 7.1 定義と性質 (Definitions and properties)
    • 7.2 特徴付けと性質 (Characterizations and properties)
    • 7.3 極分解および特異値分解 (The polar and singular value decompositions)
    • 7.4 極分解と特異値分解の結果 (Consequences of the polar and singular value decompositions)
    • 7.5 シュール積の定理 (The Schur product theorem)
    • 7.6 同時対角化、積、そして凸性 (Simultaneous diagonalizations, products, and convexity)
    • 7.7 ロエヴナー部分順序とブロック行列 (The Loewner partial order and block matrices)
    • 7.8 正定値行列に関する不等式 (Inequalities involving positive definite matrices)
  • 8 正および非負行列 (Positive and Nonnegative Matrices)
    • 8.0 はじめに (Introduction)
    • 8.1 不等式および一般的な性質 (Inequalities and generalities)
    • 8.2 正行列 (Positive matrices)
    • 8.3 非負行列 (Nonnegative matrices)
    • 8.4 再帰的非負行列 (Irreducible nonnegative matrices)
    • 8.5 原始行列 (Primitive matrices)
    • 8.6 一般的な極限定理 (A general limit theorem)
    • 8.7 確率行列および二重確率行列 (Stochastic and doubly stochastic matrices)
  • 付録 A (Appendix A) 複素数 (Complex Numbers)
  • 付録 B (Appendix B) 凸集合および関数 (Convex Sets and Functions)
  • 付録 C (Appendix C) 代数の基本定理 (The Fundamental Theorem of Algebra)
  • 付録 D (Appendix D) 多項式の零点および行列の固有値の連続性 (Continuity of Polynomial Zeroes and Matrix Eigenvalues)
  • 付録 E (Appendix E) 連続性、コンパクト性、およびワイエルシュトラスの定理 (Continuity, Compactness, and Weierstrass’s Theorem)
  • 付録 F (Appendix F) 標準対 (Canonical Pairs)

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