3.2.P4
3.2問題4
\( A \in M_n \) が特異行列であり、その階数を \( r = \text{rank}\,A \) とする。(2.4.P28) で、\( A \) を消去する次数 \( r+1 \) の多項式が存在することを学んだ。次の議論の詳細を補い、\( h(t) = p_A(t)/t^{\,n-r-1} \) がそのような多項式であることを示せ。
\( A \) のジョルダン標準形を
J \oplus J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(0)
とする。ただし、ジョルダン行列 \( J \) は非特異である。さらに \(\nu = n_1 + \cdots + n_k\) とし、固有値 0 の指数を \( n_{\max} = \max_i n_i \) とする。
(a) なぜ \( p_A(t) = p_1(t) t^{\nu} \) と書け、ここで \( p_1(t) \) は多項式であり \( p_1(0) \neq 0 \) であるのかを説明せよ。
(b) \( p(t) = p_1(t) t^{n_{\max}} \) が \( A \) を消去することを示し、したがって
p_A(t) = \big( p_1(t) t^{n_{\max}} \big) t^{\nu - n_{\max}}
となることを導け。
(c) なぜ \( k = n-r \)、かつ \(\nu - n_{\max} \geq k-1 = n-r-1 \) が成り立ち、さらに \( h(A) = 0 \) となるのかを説明せよ。
ヒント
ジョルダン標準形を用いると、特性多項式は各ジョルダンブロックの特性多項式の積として表される。固有値 \(0\) に対応するジョルダンブロックが \( J_{n_1}(0),\ldots,J_{n_k}(0) \) であるとき、それらから \( t^{n_1}\cdots t^{n_k}=t^{\nu} \) という因子が現れる。
またジョルダンブロック \( J_{n_i}(0) \) に対しては \( J_{n_i}(0)^{\,n_i}=0 \) が成り立つ。したがって最大ブロックサイズ \( n_{\max} \) を用いると \( A^{n_{\max}} \) が零ブロックをすべて消去することがわかる。この性質を用いて多項式の分解と次数を比較する。
解答例
\( A \in M_n \) を特異行列とし、そのジョルダン標準形を
J \oplus J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(0)
とする。ここで \( J \) は非特異部分のジョルダン行列であり、\( \nu = n_1+\cdots+n_k \) とする。
(a) 特性多項式はジョルダンブロックの特性多項式の積として表される。非特異部分 \( J \) の特性多項式を \( p_1(t) \) とすると、\( J \) は固有値 \(0\) をもたないため \( p_1(0)\neq 0 \) である。一方、零固有値のジョルダンブロック \( J_{n_i}(0) \) の特性多項式は \( t^{n_i} \) である。したがって
p_A(t)=p_1(t)\,t^{\nu}
と書ける。
(b) 零固有値に対応する最大ジョルダンブロックの大きさを \( n_{\max}=\max_i n_i \) とする。ジョルダンブロックの性質から
J_{n_i}(0)^{\,n_i}=0
であり、特に \( n_{\max} \ge n_i \) であるから \( J_{n_i}(0)^{\,n_{\max}}=0 \) が成り立つ。したがって
p(t)=p_1(t)t^{n_{\max}}
を考えると、ジョルダン標準形に代入したとき零ブロック部分は消去される。また \( J \) は \( p_1(J)=0 \) を満たすので、結局
p(A)=0
が成り立つ。したがって
p_A(t)=\big(p_1(t)t^{n_{\max}}\big)t^{\nu-n_{\max}}
となる。
(c) 零固有値に対応するジョルダンブロックの個数は \( k \) である。零固有値の幾何重複度は核の次元であり \( \dim\ker A = n-r \) であるから
k=n-r
が成り立つ。また \( \nu=n_1+\cdots+n_k \) であり、その最大値が \( n_{\max} \) であるので
\nu-n_{\max} \ge k-1
となる。したがって
\nu-n_{\max} \ge n-r-1
が従う。ここで
h(t)=\frac{p_A(t)}{t^{\,n-r-1}}
とおくと \( h(t) \) は多項式であり、さらに \( p_A(A)=0 \) であることから
h(A)=0
が成り立つ。したがって次数 \( r+1 \) 以下の多項式で \( A \) を消去するものが存在することが示された。
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