3.1.P23
3.1問題23
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が三重対角行列であり、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \) が実数であるとする。
(a) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ正であるとき、\( A \) が \( n \) 個の相異なる実固有値をもつことを示せ。
(b) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ非負であるとき、\( A \) の固有値はすべて実数であることを示せ。
(c) 各 \( a_{ii} = 0 \) であり、かつ \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ負であるとき、(a) から \( A \) が \( n \) 個の相異なる純虚数の固有値をもつことを導け。さらに、それらの固有値は ± のペアで現れるので、もし \( n \) が奇数なら \( A \) は特異行列となることを示せ。
ヒント
対角成分が実数であり、隣接成分の積が実数で正（または非負）であるとき、対角行列による相似変換でエルミート三重対角行列に変換できることを用いる。
(c) では \( iA \) を考えると (a) の場合に帰着できることに注目する。
解答例
\( A=[a_{ij}] \in M_n \) を三重対角行列とし、各 \( a_{ii} \) は実数とする。
(a) 仮定より \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} \) は実数かつ正である。
対角行列 \( D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) \) を
d_1=1,\qquad
d_{i+1}=d_i\sqrt{\frac{a_{i,i+1}}{a_{i+1,i}}}
と定める。このとき相似変換 \( B=D^{-1}AD \) を考えると、計算より
b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\sqrt{a_{i,i+1}a_{i+1,i}}
となる。対角成分は実数のままであるから、\( B \) は実対称三重対角行列である。
実対称行列は固有値がすべて実数であり、既約三重対角行列の場合には固有値はすべて単純である。
したがって \( B \) は \( n \) 個の相異なる実固有値をもつ。相似変換は固有値を保存するので、\( A \) も \( n \) 個の相異なる実固有値をもつ。
(b) 次に \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} \) が実数かつ非負であるとする。
同様の対角行列による相似変換により、\( A \) はエルミート三重対角行列と相似になる。ただし一部の隣接成分が 0 となる可能性がある。
エルミート行列の固有値はすべて実数であるから、\( A \) の固有値もすべて実数である。
(c) 各 \( a_{ii}=0 \) であり、さらに \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} \) が実数かつ負であるとする。
このとき行列 \( iA \) を考える。すると
(iA)_{i,i+1}(iA)_{i+1,i}
= -\,a_{i,i+1}a_{i+1,i}
となり、右辺は正である。
また \( iA \) の対角成分は 0 であり実数である。したがって (a) より、\( iA \) は \( n \) 個の相異なる実固有値をもつ。
ゆえに \( A \) の固有値はそれらを \( i \) で割ったものであり、すべて純虚数であり、かつ互いに異なる。
さらに \( A \) は対角成分がすべて 0 の三重対角行列であるから、その特性多項式は奇数次の場合に 0 を根にもつ。実際、固有値は複素共役対として現れ、純虚数の場合は \( \pm \lambda i \) の形で対をなす。
したがって \( n \) が奇数のとき、0 が固有値として現れるので、\( A \) は特異行列である。
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