3.1.P20
3.1問題20
\( A \in M_n \) で \( n > \mathrm{rank}(A) \geq 1 \) と仮定する。もし \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A^2)\)、すなわち 0 が \( A \) の半単純固有値であるなら、\( A \) がランク主成分行列であることを示せ。
（詳細は (0.7.6) を参照。特殊な場合については (2.5.P48) および (4.1.P30) を参照。）
ヒント
条件 \( \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^2) \) から、像空間が安定であること、すなわち \( \mathrm{Im}(A)=\mathrm{Im}(A^2) \) が従うことに注目する。
すると \( \mathrm{Im}(A) \cap \ker(A)=\{0\} \) が示せる。
これより空間が \( \mathrm{Im}(A) \oplus \ker(A) \) に直和分解されることを示せばよい。
解答例
\( A \in M_n \) とし、\( n>\mathrm{rank}(A)\ge1 \)、さらに \( \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^2) \) と仮定する。
まず一般に \( \mathrm{Im}(A^2) \subset \mathrm{Im}(A) \) であるから、仮定より \( \mathrm{Im}(A)=\mathrm{Im}(A^2) \) が成り立つ。
ここで \( x \in \mathrm{Im}(A) \cap \ker(A) \) とする。 するとある \( y \) が存在して \( x=Ay \) と書ける。 さらに \( Ax=0 \) であるから
0=Ax=A(Ay)=A^2 y
となる。 よって \( Ay \in \ker(A) \) であるが、同時に \( Ay \in \mathrm{Im}(A^2)=\mathrm{Im}(A) \) でもある。
したがって \( x=Ay \in \mathrm{Im}(A) \cap \ker(A) \) であり、これが 0 であることを示す。
実際、\( A^2 y=0 \) であるから \( Ay \in \ker(A) \)。 しかし \( \mathrm{Im}(A)=\mathrm{Im}(A^2) \) なので、ある \( z \) が存在して
Ay = A^2 z
と書ける。よって
Ay = A(Az)
であるから、両辺を引くと
A(y - Az) = 0
すなわち \( y-Az \in \ker(A) \) である。
すると
Ay = A(Az) = A^2 z
であり、しかも \( A^2 z \in \mathrm{Im}(A^2)=\mathrm{Im}(A) \) である。
以上より \( \mathrm{Im}(A) \cap \ker(A)=\{0\} \) が従う。
一方、階数・次元定理より
n = \mathrm{rank}(A) + \dim \ker(A)
である。
したがって \( \dim \mathrm{Im}(A) + \dim \ker(A) = n \) かつ \( \mathrm{Im}(A) \cap \ker(A)=\{0\} \) であるから
\mathbb{C}^n = \mathrm{Im}(A) \oplus \ker(A)
が成り立つ。
このとき基底を \( \mathrm{Im}(A) \) の基底と \( \ker(A) \) の基底を合わせて取れば、行列表示は
A \sim
\begin{pmatrix}
B & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
の形になる。ただし \( B \) は \( \mathrm{Im}(A) \) 上の可逆行列である。
すなわち 0 固有値は半単純であり、ジョルダンブロックに非自明な冪零部分をもたない。 よって \( A \) は像空間への射影と同型な形をもち、ランク \( \mathrm{rank}(A) \) のランク主成分行列である。
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