3.1.P19
3.1問題19
\( x, y \in \mathbb{R}^n \)、\( t \in \mathbb{R} \) が与えられたとする。上三角行列を次のように定める：
A_{x,y,t} =
\begin{bmatrix}
1 & x^{\top} & t \\
0 & I_n & y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \in M_{n+2}(\mathbb{R})
そして \( H_n(\mathbb{R}) = \{ A_{x,y,t} : x,y \in \mathbb{R}^n, \, t \in \mathbb{R} \} \) とする。
(a) \( A_{x,y,t} A_{\xi,\eta,\tau} = A_{x+\xi,\, y+\eta,\, t+\tau} \) および \( (A_{x,y,t})^{-1} = A_{-x,-y,-t} \) を示せ。
(b) \( H_n(\mathbb{R}) \) が、対角成分がすべて +1 の \( M_{n+2}(\mathbb{R}) \) の上三角行列群の部分群（これを n 次のハイゼンベルグ群と呼ぶ）である理由を説明せよ。
(c) \( A_{x,y,t} \) のジョルダン標準形が、もし \( x^T y ≠ 0 \) なら \( J_3(1) \oplus I_{n-1} \) であり、もし \( x^T y = 0 \) なら以下のいずれかであることを説明せよ：
・\( x ≠ 0, y ≠ 0 \) の場合： \( J_2(1) \oplus J_2(1) \oplus I_{n-2} \)
・\( x = 0 \) または \( y = 0 \)（ただし両方でない）場合： \( J_2(1) \oplus I_n \)
・\( x = y = 0 \) の場合： \( I_{n+2} \)
(d) \( A_{x,y,t} \) が常にその逆行列と相似である理由を説明せよ。
ヒント
行列の積はブロック行列として計算する。
\(A_{x,y,t}=I+N\) とおくと、\(N\) は冪零行列であり \(N^3=0\) が成り立つ。
ジョルダン標準形は \(N\) の階数および \(N^2\) の階数を調べることで決定できる。
解答例
(a) ブロック行列の積を計算すると
A_{x,y,t}A_{\xi,\eta,\tau}
=
\begin{bmatrix}
1 & x^{\top} & t \\
0 & I_n & y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & \xi^{\top} & \tau \\
0 & I_n & \eta \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & (x+\xi)^{\top} & t+\tau+x^{\top}\eta \\
0 & I_n & y+\eta \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
よって群演算は \( (x,y,t)\cdot(\xi,\eta,\tau)=(x+\xi,\,y+\eta,\,t+\tau+x^{\top}\eta) \) である。
逆行列は
(A_{x,y,t})^{-1}
=
A_{-x,-y,-t+x^{\top}y}
となる。
(b) 対角成分は常に 1 であり、積と逆元について閉じている。 単位元は \(A_{0,0,0}=I_{n+2}\) である。 したがって \(H_n(\mathbb{R})\) は対角成分がすべて 1 の上三角行列群の部分群である。これを \(n\) 次のハイゼンベルグ群という。
(c) \(A_{x,y,t}=I+N\) とおくと
N=
\begin{bmatrix}
0 & x^{\top} & t \\
0 & 0 & y \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
であり、\(N^3=0\) が成り立つ。
さらに
N^2=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & x^{\top}y \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
である。
\(x^{\top}y\neq0\) ならば \(N^2\neq0\) であり、最大ジョルダンブロックの大きさは 3 である。 したがって
J_3(1)\oplus I_{n-1}
となる。
\(x^{\top}y=0\) の場合は \(N^2=0\) である。 このとき \(N\neq0\) なら最大ブロックは大きさ 2 である。
\(x\neq0,\;y\neq0\) ならば階数は 2 となり
J_2(1)\oplus J_2(1)\oplus I_{n-2}
となる。
\(x=0\) または \(y=0\)（ただし両方でない）なら階数は 1 であり
J_2(1)\oplus I_n
となる。
\(x=y=0\) ならば \(N=0\) であり
I_{n+2}
である。
(d) すべての固有値は 1 のみである。 (c) で見たようにジョルダン標準形は \(x,y\) の条件で決まるが、逆行列も同じ型になる。 したがって常に
A_{x,y,t} \sim (A_{x,y,t})^{-1}
が成り立つ。
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