3.1.P18
3.1問題18
\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。
(a) もし \( A \) の各固有値が +1 または −1 であるならば、\( A \) は \( A^{-1} \) と相似である理由を説明せよ。
(b) 正則な \( B, C, S \in M_n \) が存在して、\( A = BC, \; B^{-1} = S B S^{-1}, \; C^{-1} = S C S^{-1} \) が成り立つと仮定する。このとき \( A \) が \( A^{-1} \) と相似であることを示せ。
ヒント
固有値がすべて \( \pm1 \) ならば、\( \lambda^{-1}=\lambda \) であることを用いる。
ジョルダン標準形で考えると、\(A\) と \(A^{-1}\) のブロックは一致する。
与えられた関係式から \(A^{-1}\) を計算し、共通の相似変換行列 \(S\) を用いて変形する。
解答例
(a) \(A\in M_n\) を正則とし、その固有値がすべて \(+1\) または \(-1\) であるとする。 このとき任意の固有値 \(\lambda\) について
\lambda^{-1}=\lambda
が成り立つ。
\(A\) のジョルダン標準形を
A \sim \bigoplus_{\lambda=\pm1}\bigoplus_k J_k(\lambda)^{\,m_{k,\lambda}}
と書く。このとき各ブロックについて
J_k(\lambda)^{-1} \sim J_k(\lambda^{-1})=J_k(\lambda)
である。したがって
A^{-1} \sim \bigoplus_{\lambda=\pm1}\bigoplus_k J_k(\lambda)^{\,m_{k,\lambda}}
となり、これは \(A\) のジョルダン標準形と一致する。 ゆえに
A \sim A^{-1}
である。
(b) 正則な \(B,C,S\in M_n\) が存在し、 \(A=BC\), \(B^{-1}=SBS^{-1}\), \(C^{-1}=SCS^{-1}\) とする。
まず
A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}
である。仮定より
C^{-1}B^{-1}
=(SCS^{-1})(SBS^{-1})
=S(CB)S^{-1}
となる。
一方
SAS^{-1}
=S(BC)S^{-1}
=(SBS^{-1})(SCS^{-1})
=B^{-1}C^{-1}
である。
ここで
B^{-1}C^{-1}
=B^{-1}(C^{-1}B^{-1})B
より、\(B^{-1}C^{-1}\) と \(C^{-1}B^{-1}\) は相似である。 したがって
SAS^{-1} \sim A^{-1}
が成り立つ。ゆえに
A \sim A^{-1}
である。
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