3.1.P16
3.1問題16
ここで λ ≠ 0 かつ k ≥ 2 とする。
このとき \( J_k(\lambda)^{-1} \) は \( J_k(\lambda) \) の多項式で表される 系(2.4.3.4)。
系(2.4.3.4)
正則な \( A \in \mathbb{M}_n \) に対し、特性多項式 \( p_A(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) が与えられたとします。次のように定義すると、
q(t) = -\frac{t^{n-1} + a_{n-1}t^{n-2} + \cdots + a_2 t + a_1}{a_0}このとき、\( A^{-1} = q(A) \) は \( A \) の多項式で表されます
(a) \( J_k(\lambda)^{-1} \) が上三角テプリッツ行列であり、その主対角成分がすべて \( \lambda^{-1} \) であることを説明せよ。
(b) \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1行が \([ \lambda^{-1}, a_2, \ldots, a_n ]\) であるとする。
\( J_k(\lambda)J_k(\lambda)^{-1} \) の (1,2) 成分が \( \lambda a_2 + \lambda^{-1} \) であることを確認し、さらに \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1超対角成分がすべて \(-\lambda^{-2}\) である理由を説明せよ。
特に、これらの成分はすべて 0 でない。
(c) \(\mathrm{rank}( (J_k(\lambda)^{-1} - \lambda^{-1} I)^k ) = n-k\) が \( k = 1, \ldots, n \) について成り立つことを示し、\( J_k(\lambda)^{-1} \) のジョルダン標準形が \( J_k(\lambda^{-1}) \) である理由を説明せよ。
ヒント
\(J_k(\lambda)=\lambda I+N\) とおくと、\(N\) は上三角で第1超対角に 1 をもつ冪零行列である。
\(\lambda\neq0\) なら \((\lambda I+N)^{-1}=\lambda^{-1}(I+\lambda^{-1}N)^{-1}\) と書け、冪零性より有限和で展開できる。
この形から対角成分や階数を調べる。
解答例
\(J_k(\lambda)=\lambda I+N\) とする。ただし \(N\) は第1超対角に 1 をもつ冪零行列であり、\(N^k=0\) である。
(a) \(\lambda\neq0\) なので
J_k(\lambda)^{-1}
=(\lambda I+N)^{-1}
=\lambda^{-1}(I+\lambda^{-1}N)^{-1}
となる。冪零性より
(I+\lambda^{-1}N)^{-1}
=I-\lambda^{-1}N+\lambda^{-2}N^2-\cdots+(-1)^{k-1}\lambda^{-(k-1)}N^{k-1}
である。したがって \(J_k(\lambda)^{-1}\) は上三角行列であり、各対角成分はすべて \(\lambda^{-1}\) である。 また各対角線に沿って成分が一定であるから上三角テプリッツ行列となる。
(b) 第1行を \([\lambda^{-1},a_2,\ldots,a_k]\) とする。 積の (1,2) 成分は
\lambda a_2+\lambda^{-1}
である。単位行列になるためにはこれが 0 でなければならないから
\lambda a_2+\lambda^{-1}=0
すなわち
a_2=-\lambda^{-2}
となる。同様に各超対角成分も再帰的に定まり、第1超対角成分はすべて \(-\lambda^{-2}\) となる。 特にこれらは 0 ではない。
(c)
J_k(\lambda)^{-1}-\lambda^{-1}I
は上三角で対角成分が 0、かつ第1超対角に非零成分をもつ冪零行列である。 したがってこれは \(N\) と同様の構造をもつ。
その \(r\) 乗は第 \(r\) 超対角にのみ非零成分をもち、階数は
\operatorname{rank}\bigl((J_k(\lambda)^{-1}-\lambda^{-1}I)^r\bigr)
=k-r
である（\(r=1,\ldots,k\)）。
よって Weyr 特性はすべて 1 であり、固有値は \(\lambda^{-1}\) のみである。 したがってジョルダン標準形は
J_k(\lambda^{-1})
である。
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