3.1.P12
3.1問題12
\(A\in M_n\) をとり、正の整数 \(k,p\) を与える。
\(w_k=w_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）、\(s_k=s_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）を、それぞれ固有値 \(\lambda\) に関する Weyr 特性と Segre 特性とする。次を示せ：
(a) \(s_{w_k}\ge k\) ただし \(w_k \gt 0\)。
(b) \(k \gt s_{w_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。
(c) \(w_{s_k}\ge k\) ただし \(s_k \gt 0\)。
(d) \(k \gt w_{s_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。
(e) \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、\(w_p=k\) が成り立つことは同値であることを説明せよ。
(f) 次の三つの主張が同値であることを示せ：
- \(s_k \ge p \gt p-1 \gt s_{k+1}\)。
- \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) かつ \(s_k \ge p-1 \gt s_{k+1}\)。
- \(p\ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。
(g) \(s_k \gt s_{k-1} \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、ジョルダン標準形にサイズ \(s_k-1\) のブロック \(J_{s_k-1}(\lambda)\) が存在しないことは同値であることを説明せよ。
(h) 次の四つの主張が同値であることを示せよ：
- \(s_k-s_{k+1}\ge 2\)。
- \(s_k=s_k \ge s_{k-1} \gt s_{k+1}\)。
- \(p=s_k \ge 2\) かつジョルダン標準形にサイズ \(p-1\) のブロック \(J_{p-1}(\lambda)\) が存在しない。
- \(p=s_k \ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。
ヒント
Segre特性 \(s_k\) は「大きさが \(k\) 以上のジョルダンブロックの個数」、Weyr特性 \(w_k\) は「第 \(k\) 段目までに存在するブロックの個数」であり、Ferrers図において列の長さが \(s_k\)、行の長さが \(w_k\) を与える。
両者は転置関係にあるため、「第 \(k\) 行に \(w_k\) 個の点がある」ことは「左から \(w_k\) 列目の高さが少なくとも \(k\) である」ことに対応する。
解答例
ジョルダン標準形における固有値 \(\lambda\) に対応するブロックの大きさを \(m_1\ge m_2\ge \dots \ge m_t\) とする。 このとき
s_k=\#\{\, i \mid m_i \ge k \,\},
\qquad
w_k=\#\{\, i \mid m_i \ge k \,\}
であり、Ferrers図において列の長さが \(s_k\)、行の長さが \(w_k\) となる。
(a) 第 \(k\) 行には \(w_k\) 個の点があるので、左から \(w_k\) 列目の高さは少なくとも \(k\) である。 したがって \(s_{w_k}\ge k\) （ただし \(w_k\gt0\)）が成り立つ。
(b) 第 \(k\) 行の点はちょうど \(w_k\) 個であるから、\(w_k+1\) 列目の高さは \(k\) 未満である。 よって \(k \gt s_{w_k+1}\) がすべての \(k\) について成り立つ。
(c) 列番号 \(k\) の高さは \(s_k\) である。 その最下段は第 \(s_k\) 行にあるから、その行には少なくとも \(k\) 個の点が存在する。 したがって \(w_{s_k}\ge k\) （ただし \(s_k\gt0\)）である。
(d) 列 \(k\) の高さは \(s_k\) であるから、第 \(s_k+1\) 行にはその列の点は存在しない。 よって \(k \gt w_{s_k+1}\) がすべての \(k\) で成り立つ。
(e) 条件 \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) は、「高さが少なくとも \(k\) の列が \(p\) 本あり、\(k+1\) 以上の列は \(p\) 本未満」であることを意味する。 これは第 \(p\) 行の長さがちょうど \(k\)、すなわち \(w_p=k\) であることと同値である。
(f) \(s_k \ge p \gt p-1 \gt s_{k+1}\) は
s_k \ge p \gt s_{k+1}
\quad\text{かつ}\quad
s_k \ge p-1 \gt s_{k+1}
と同値である。 (e) よりそれぞれ \(w_p=k\)、\(w_{p-1}=k\) を意味する。 したがって \(p\ge2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\) と同値である。
(g) \(s_k \gt s_{k-1} \gt s_{k+1}\) は、列の高さが階段状に二段以上減少していることを意味する。 これは大きさ \(s_k-1\) のブロックが存在しないこと、すなわちその高さをもつ列が欠けていることと同値である。
(h) \(s_k-s_{k+1}\ge2\) は、列 \(k\) と \(k+1\) の間で高さが二以上減少していることを意味する。 これは
p=s_k \ge 2
\quad\text{かつ}\quad
w_p=w_{p-1}=k
と同値であり、さらにサイズ \(p-1\) のブロックが存在しないこととも同値である。 以上より四条件は互いに同値である。
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